Geometriyadan misol va masalalar

To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi

Dekart koordinatalar sistemasida koordinata boshidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa p berilgan bo‘lsin. Koordinata boshidan to‘g‘ri chiziqqacha tushirilgan perpendikulyar bilan absissa o‘qining musbat yo‘nalishi orasidagi burchak a berilgan bo‘lsin. Berilganlardan foydalanib to‘g‘ri chiziq tenglamasini keltirib chiqaraylik.


67

5.3.1-chizma △ OPA dan cosa = — ^ x1 = -^ topamiz. x1 cosa △ OBP dan esa cos(90^0 — a) = ^— ^ y2 = -^—- y2 ^2 sina ma’lum bo‘ladi. ekanligi p p Demak, A( ; 0) va B(0; ) nuqtalarning koordinatalaridan cosa sina foydalanib, berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzsak X	p cosa _ ^y —^0
0	— ^- 0 cosa sina
^p	pp (x ) = y
sina	cosa cosa

X p y

sina sinacosa cosa


= 0


kelib chiqadi va tenglikni ikkala tomonini sinacosa ga ko‘paytirsak,


xcosa + ysina — p = 0 (5.13)

to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi kelib chiqadi.

Normal tenglama quyidagi xossalarga ega:

1. 
   x va y o‘zgaruvchi koeffitsiyentlari oldidagi qiymatlarining kvadratlari yig‘indisi 1 ga teng. cos²a + sin² a = 1
   
2. 
   p > 0 ya’ni, koordinata boshidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa.
   

68

9. 
   Misol. Koordinata boshidan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan
   masofa 5 ga va absissa o‘qining musbat yo‘nalishi bilan 30⁰ burchak
   tashkil qiladi. Berilganlardan foydalanib to‘g‘ri chiziqning normal
   tenglamasini tuzing.
   

Yechish. Berilganlarni yuqoridagi (5.13) formulaga qo‘ysak,
xcos30⁰ + ysin30⁰ — 5 = 0^ —x + 1y — 5 = 0 bo‘ladi.

22

To‘g‘ri chiziq tenglamasini normal holda keltirish.

Bizga ax + by + c = 0 umumiy hol bilan biror to‘g‘ri chiziq
tenglamasi berilgan bo‘lsin. Bu tenglamani normal holga keltirish
uchun biz tenglamani ikkala tomonini M Ф 0 soniga ko‘paytiramiz,
aMx + bMy + cM = 0
normal tenglamaning xossasiga ko‘ra

a²M² + b²M² = 1 ^ M ni topib olamiz va

11

■^M ■—■

ax by c

+ . + . + . = 0

Va² + b² Va² + b² Va² + b²

natijani olamiz. Bu yerda + yoki - ishorasi ozod hadga qarab olinadi.

9. 
   Misol. 3x — 4y — 6 = 0 to‘g‘ri chiziq tenglamasini normal
   holga keltiring.
   

Yechish. Normal tenglamaning xossalaridan,

.1 .1

M = ±^= = ±- ekanligi topamiz. (5.14) formuladan

foydalanib, to‘g‘ri chiziq tenglamasini |x — 4
keltirdik.


Berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa .

Dekart koordinatalar sistemasida biror bir ax + by + c = 0 to‘g‘ri chiziq tenglamasi va M(x₀;y₀) nuqta berilgan bo‘lsin. M(x₀; y₀) nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan d masofani topishimiz kerak. Bu M(x₀;y₀) nuqta to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar bo‘lishi zarur.


(5.14)


— 6=0 normal holga


69

2. 
   chizma
   

ax + by + c = 0 ga perpendikulyar M(x₀; y₀) nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi

bx — ay + c₁ = 0

bx₀ — ay₀ + c₁ = 0

C1 = ayo — bx₀

'bx — ay + ay₀ — bx₀ = 0

ax + by + c = 0 tenglamalar sistemasidagi birinchi tengligimizni b ga, ikkinchi tengligimizni a ga ko‘paytirib qo‘shsak, quyidagi tenglama hosil bo‘ladi.

(a² + b²)x — aby₀ — bx₀ = 0 Natijada,

b²x₀ — aby₀ — ac

^X= a² + b²

tenglik hosil bo‘ladi. y ni topish uchun tenglamalar sistemasidagi birinchi tengligimizni —a ga, ikkinchi tengligimizni b ga ko‘paytirib qo‘shsak, quyidagi tenglama hosil bo‘ladi.

a²y₀ — abx₀ — bc

^y= a²+b²

b²Xn-aby₀-ac a²y₀-abx₀-bc

^N( ; ) ^nuq^{ta bilan M(x}0;y0)

nuqtagacha bo‘lgan masofa quyidagicha topamiz:


70



J+(p0


\MN\ =





(b²Xp


- aby₀
a² + b²


ac


(a²x₀ - aby₀


a² + b²


abx₀


be


a² + b²


ac) + (^aby0^{- by}


a² + b²


bc ²


y0)²





a2 <^a '^{by +} ) + _b2 r^b '/■'' +)

\ a² + b² J \ a² + b² J


(a² + b²)(ax₀ + by₀ + c)²


(a² + b²)²


_ (ax0 + by0 + c)² _ \ax0 + by0 + c|

J a^{2 + b}2 Ja² + b²

M(x₀-;y₀) nuqtadan ax + by + c = 0 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa


(5.15)


^|a%o+byo + c^|
a = . —

Ja² + b²

formula orqali topiladi. Agar to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasidan
foydalansak, bu formula quyidagicha oson isbot qilinadi.

Berilgan ax + by + c = 0 to‘g‘ri chiziqni normal holga va M(x₀;y₀) nuqtadan o‘tuvchi parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini ham normal holga keltiramiz. Koordinata boshidan N(x;y) nuqtagacha bo‘lgan masofani p₁, M(x₀;y₀) nuqtagacha bo‘lgan masofani esa p₂ bilan belgilab ayirib tashlasak yetarli bo‘ladi. Ya’ni,


abc

+ . X + . y + . = 0

Ja² + b² Ja² + b² Ja² + b²

ab

± . -x₀ ± . zy₀ ±c1 = 0 ^

^Ja² + b^{2 0} ^a²+b^{2 1}

ab

^ci = + tö^x0 + Tï^y0 ^

Ja² + b² Ja² + b²


71



±


_^a x± * ' ■ _^b

Va² + b² Va² + b² Va² + b² Va² + b²


c
+ r _n =

Va² + b²


P2 =


ab
x_o ±

Va² + b² Va² + b²


bo‘lsa, d = |p₂ — p1\ =


±ax₀±by₀±c

Va²+b²


\ax₀+by₀+c\

Va²+b²


ekanligidan (5.15) formula keltirib chiqariladi.

9. 
   Misol. Koordinatalari ^(3; —2) bo‘lgan nuqtadan y = 4% — 1 to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping.
   

Yechish. Berilgan y = 4x — 1 to‘g‘ri chiziq tenglamasini umumiy 4x — y —1 = 0 ko‘rinishga keltirib, (5.15) formulaga qo‘yamiz.

|a%o + byo + c| |4 ■ 3 — (—2) — 1| 13 13V17

d = . = . : = = ———.

Va² + b² V16 + 1 V17 17

Berilgan nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa -yy⁷ ga teng.

3. 
   Tekislikda to‘g‘ri chiziqlarga doir aralash masalalar.
   

Uchburchakni uchlariga ko‘ra yuzini topish.

Uchlari 4(x_i;y_i), B(x₂;y₂) va C(x₃;y₃) nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning yuzini topamiz. Buning uchun “Uchburchakning yuzi uning biror tomoni va shu tomonga tushirilgan balandlik ko‘paytmasining yarmiga teng” deyilgan qoidadan foydalanamiz.

Demak, S = | |BC| • |h_BC|,BC tomon uzunligi

^|5C^| = 7⁽^3 — *2⁾² + ⁽y3 — y2⁾²

h_BC ni topish uchun A nuqtadan BC to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani topish yetarli. Buning uchun

_BC. ^i ^— ^^ yi ^— y2

' *3 — *2 y3 — y2

tomon tenglamasini umumiy holga keltiramiz.

*1<>3 — y2) — yi⁽*3 — *2) — *2(y3 — y2) + y2⁽*3 “ *2) = 0


72

5.4.1-chizma 4(x1; y1) nuqtadan BC tomongacha bo‘lgan masofa esa ^|*1^(73 - 72) - 71^(*3 - *2) - *2(73 - 72) + 72^(*3 - *2)1 V^(*3 - x2^)2 + ^(73 - y2^)2 ^5 = 17^(*3 - *2^)2 + ^(73 - 72^)2 • La ^|x1^(73 - 72) - 71^(*3 - *2) - *2(73 - 72) + 72^(*3 - X2)| V^(*3 -*2^)2 + ^(73 - y2^)2 1 = ^ ^|x173 - *172 - *371 + *271 - *273 + *272 + *372 - *272 ^1 = 1 1 *1 ^71 ^1 = ~ ^|*173 - *172 - *371 + *271 - *273 + *372 ^1 = ~ *2 72 ^1 *3 ^73 ^1 hosil bo‘ladi. Demak,
1	X1 71 1
s=2	x2 72 ^1	(5.16)
	x3 73 ^1

uchburchakni uchlariga ko‘ra yuzini


topish formulasini keltirib


chiqardik.

9. 
   Misol. Uchburchakning uchlari X(4; 2), B(-3;3) va C(-2; -5) berilgan bo‘lsa uning yuzini toping.
   

Yechish. Uchburchakni uchlariga ko‘ra yuzini topish formulasidan foydalanamiz.


73

1	*1	yi	1	1	4	2	1
5—2	*2	y2	1	^— 2	—3	3	1
	*3	y3	1		—2	— 5	1

1 _{z s}

— — (4 • 3 + 2 • (—2) + (—5) • (—3) — 3 • (—2) — 4 • (—5) — 2 • (—3))

= 1(12-4 + 15 + 6 + 20 + 6) =1-55 = 271

Uchburchakni yuzi 271 ga teng.