Geometriyadan misol va masalalar

MAVZU: IKKINCHI TARTIBLI CHIZIQ VA TO‘G‘RI
CHIZIQNING O‘ZARO VAZIYATI.

Reja:

1. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqning to‘g‘ri chiziq bilan kesilishi.
   
2. 
   Egri chiziqning diametrlari. Bosh o‘qlar. Asimptotalar. Egri chiziqning qo‘shma yo‘nalishlarga nisbatan tuzilgan tenglamasi; egri chiziqning asimptotalarga nisbatan tenglamasi.
   
3. 
   Ikkinchi tartibli chiziqlarning urinma tenglamalari.
   

Tayanch iboralar: ellips, gipe^h, pаrаbоlа, diаmеtr, vаtаr, fokus, urinma, аsimptоtа, direktrisa, qo‘shma diametr.

1. 
   Ikkinchi tartibli egri chiziqning to‘g‘ri chiziq bilan kesilishi.
   

Ikkinchi tartibli

a_nx² + 2a₁₂xy + a₂₂y² + 2я₁₃х + 2a₂₃y + a₃₃ = 0 (10.1)

egri chiziqning

Ax + ßy + C = 0 (10.2)

to‘g‘ri chiziq bilan kesilish nuqtalarining koordinatalari (10.1) va (10.2) tenglamalarni birgalikda yechib aniqlanadi.

Bu tenglamalar sistemasi, umuman aytganda, ikki qo‘sh ildizga ega bo‘lishi kerak, shuning uchun ikkinchi tartibli egri chiziq to‘g‘ri chiziq bilan ikkita (haqiqiy, mavhum yoki ustma - ust tushgan) nuqtada kesishadi. Agar bu ikki nuqta ustma - ust tushsa, to‘g‘ri chiziq egri chiziqqa shu nuqtadagi urinma deyiladi.

1. 
   egri chiziqqa (%'; y') nuqtadagi urinmaning tenglamasi:
   

^(a11X' + ^ai₂y' + Я1з)х + ^(a21*' + ^a22y' + ^a23)y +


160



+(Яи*' + Яз₂у' + Язз) = 0 (10.3)

Agar berilgan

Ах + By + С = 0

1. 
   egri chiziqqa urinsa, u holda urinish nuqtasining koordinatalari bu to‘g‘ri chiziq va (10.3) urinma tenglamalari koeffitsiyentlarining proporsionallik, ya’ni:
   

^Я11%' + ^Я12У' + ^я13 ^Я21*' ^{+ Я}22У' ^{+ Я}23


A B

Ян*' + аз2У' + Язз

= С

shartidan aniqlanadi.


(10.4)

1. 
   egri chiziq va (10.2) to‘g‘ri chiziq tenglamalarining koordinatalaridan birini yo‘qotganda ikkinchi koordinatani aniqlash uchun ikkinchi darajali emas, balki birinchi darajali tenglama hosil bo‘lishi (aniqlanayotgan koordinataning kvadrati oldidagi koeffitsiyent nolga aylanadi), (10.1) egri chiziqning (10.2) to‘g‘ri chiziq bilan kesilishining xususiy holiga ega bo‘lamiz. Bu holda tekislikning chekli qismida (10.1) egri chiziq bilan (10.2) to‘g‘ri chiziqning birgina umumiy nuqtasi bo‘ladi. Ular faqat bir nuqtada kesishadi deymiz. Bu to‘g‘ri chiziqlarning burchak koeffitsiyentlari
   

«11+2012^ + 022^2 =0

tenglamadan aniqlanadi. Agar (10.1) va (10.2) tenglamalar birgalikda bo‘la olmasa, ya’ni umumiy chekli ildizlarga ega bo‘lsa, (10.1) egri chiziq (10.2) to‘g‘ri chiziq bilan hech bir umumiy nuqtaga ega emas deymiz. Bu holda (10.1) va (10.2) tenglamalarning koordinatalaridan birini yo‘qotishda faqat aniqlanayotgan koordinataning kvadrati oldidagi koeffitsiyenti ham nolga aylanadi.

2.