I bob. Matematika darslarida parametrli tenglamalar va parametrli tenglamalar sistemasini yechish metodikasining nazariy asoslari

Javob.a \in (0;1] \chashka \chap\(e^(e^(-1))\o'ng\)
Tenglama turi f(x; a) = 0 deyiladi o'zgaruvchan tenglama X va parametr A.
Parametrli tenglamani yeching A Bu shuni anglatadiki, har bir qiymat uchun A qiymatlarni toping X bu tenglamani qanoatlantiradi.
1-misol Oh= 0
2-misol Oh = A
3-misol
x + 2 = bo‘lsa

x - ax -2

x (1 - a) \ -2
Agar 1 - A= 0, ya'ni. A= 1, keyin X 0 = -2 ildiz yo'q
Agar 1 - A 0, ya'ni. A 1, keyin X =
4-misol
(A 2 – 1) X = 2A 2 + A – 3
(A – 1)(A + 1)X = 2(A – 1)(A – 1,5)
(A – 1)(A + 1)X = (1A – 3)(A – 1)
Agar A= 1, keyin 0 X = 0
X- har qanday haqiqiy raqam
Agar A= -1, keyin 0 X = -2
ildizlari yo'q
Agar A 1, A-1 keyin X= (yagona yechim).
Bu shuni anglatadiki, har bir haqiqiy qiymat uchun A bitta qiymatga mos keladi X.
Masalan:
Agar A= 5, keyin X = = ;
Agar A= 0, keyin X= 3 va boshqalar.

Didaktik material

1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. A = +
da A= 1 hech qanday ildiz yo'q.
da A= 3 ildiz yo'q.
da A = 1 X har qanday haqiqiy raqam bundan mustasno X = 1
da A = -1, A= 0 hech qanday yechim yo'q.
da A = 0, A= 2 yechim yo'q.
da A = -3, A = 0, 5, A= -2 yechim yo'q
da A = -Bilan, Bilan= 0 hech qanday yechim yo'q.

Parametrli kvadrat tenglamalar

1-misol tenglamani yeching
(A – 1)X 2 = 2(2A + 1)X + 4A + 3 = 0
Da A = 1 6X + 7 = 0
Qachon A 1 qaysi parametr uchun qiymatlarni tanlang D nolga tushadi.
D = (2(2 A + 1)) 2 – 4(A – 1)(4A + 30 = 16A 2 + 16A + 4 – 4(4A 2 + 3A – 4A – 3) = 16A 2 + 16A + 4 – 16A 2 + 4A + 12 = 20A + 16
20A + 16 = 0
20A = -16
Agar A < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Agar A> -4/5 va A 1, keyin D > 0,
X = 
Agar A= 4/5, keyin D = 0,
2-misol a parametrining qaysi qiymatlarida tenglama
x 2 + 2( A + 1)X + 9A– 5 = 0 ning 2 ta manfiy ildizi bormi?
D = 4( A + 1) 2 – 4(9A – 5) = 4A 2 – 28A + 24 = 4(A – 1)(A – 6)
4(A – 1)(A – 6) > 0
t. Vietaga ko'ra: X 1 + X 2 = -2(A + 1)
X 1 X 2 = 9A – 5
Shart bo'yicha X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(A + 1) < 0 и 9A – 5 > 0

Natijada

4(A – 1)(A – 6) > 0 - 2(A + 1) < 0 9A – 5 > 0

A < 1: а > 6 A > - 1 A > 5/9

(Guruch. 1) < a < 1, либо a > 6

3-misol Qiymatlarni toping A bu tenglamaning yechimi bor.
x 2 - 2( A – 1)X + 2A + 1 = 0
D = 4( A – 1) 2 – 4(2A + 10 = 4A 2 – 8A + 4 – 8A – 4 = 4A 2 – 16A
4A 2 – 16 0
4A(A – 4) 0
A( A – 4)) 0
A( A – 4) = 0
a = 0 yoki A – 4 = 0
A = 4

(Guruch. 2)
Javob: A 0 va A 4

Didaktik material

1. Qaysi qiymatda A tenglama Oh 2 – (A + 1) X + 2A– 1 = 0 bitta ildizga egami?
2. Qaysi qiymatda A tenglama ( A + 2) X 2 + 2(A + 2)X+ 2 = 0 bitta ildizga egami?
3. A ning qaysi qiymatlari uchun tenglama ( A 2 – 6A + 8) X 2 + (A 2 – 4) X + (10 – 3A – A 2) = 0 ning ikkitadan ortiq ildizi bormi?
4. Tenglamaning qaysi qiymatlari uchun 2 X 2 + X – A= 0 2 tenglama bilan kamida bitta umumiy ildizga ega X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Tenglamalar a ning qaysi qiymatlari uchun bajariladi X 2 +Oh+ 1 = 0 va X 2 + X + A= 0 kamida bitta umumiy ildizga egami?
1. Qachon A = - 1/7, A = 0, A = 1
2. Qachon A = 0
3. Qachon A = 2
4. Qachon A = 10
5. Qachon A = - 2

Parametrli eksponensial tenglamalar

1-misol.Barcha qiymatlarni toping A, buning uchun tenglama
9 x - ( A+ 2) * 3 x-1 / x +2 A*3 -2/x = 0 (1) aniq ikkita ildizga ega.
Yechim. (1) tenglamaning ikkala tomonini 3 2/x ga ko'paytirib, ekvivalent tenglamani olamiz.
3 2(x+1/x) – ( A+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 A = 0 (2)
3 x+1/x = bo'lsin da, keyin (2) tenglama shaklni oladi da 2 – (A + 2)da + 2A= 0 yoki
(da – 2)(da – A) = 0, qaerdan da 1 =2, da 2 = A.
Agar da= 2, ya'ni. 3 x + 1/x = 2 X + 1/X= log 3 2 , yoki X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Bu tenglamaning haqiqiy ildizlari yo'q, chunki u D= log 2 3 2 – 4< 0.
Agar da = A, ya'ni. 3 x+1/x = A Bu X + 1/X= jurnal 3 A, yoki X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
(3) tenglama faqat ikkita ildizga ega bo'ladi, agar va faqat
D = log 2 3 2 – 4 > 0 yoki |log 3 a| > 2.
Agar log 3 a > 2 bo'lsa, u holda A> 9, va agar log 3 a< -2, то 0 < A < 1/9.
Javob: 0< A < 1/9, A > 9.
2-misol. 2 2x tenglamaning qaysi qiymatlarida - ( A - 3) 2 x - 3 A= 0 yechimlari bormi?
Berilgan tenglamaning yechimlari bo'lishi uchun tenglama bo'lishi zarur va etarli t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 kamida bitta ijobiy ildizga ega. Keling, Viet teoremasidan foydalanib, ildizlarni topamiz: X 1 = -3, X 2 = A = >
a - ijobiy raqam.
Javob: qachon A > 0

Didaktik material

1. Tenglama berilgan a ning barcha qiymatlarini toping
25 x - (2 A+ 5) * 5 x-1 / x + 10 A* 5 -2/x = 0 aniq 2 ta yechimga ega.
2. Tenglama a ning qaysi qiymatlari uchun bajariladi
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 bitta ildizga egami?
3. a parametrining qaysi qiymatlari uchun tenglama
4 x - (5 A-3) 2 x +4 A 2 – 3A= 0 ning yagona yechimi bormi?

Parametrli logarifmik tenglamalar

1-misol Barcha qiymatlarni toping A, buning uchun tenglama
log 4x (1+ Oh) = 1/2 (1)
o‘ziga xos yechimga ega.
Yechim. (1) tenglama tenglamaga ekvivalent
1 + Oh = 2X da X > 0, X 1/4 (3)
X = da
au 2 - da + 1 = 0 (4)
(3) dan (2) shart bajarilmaydi.
Mayli A 0, keyin au 2 – 2da+ 1 = 0 haqiqiy ildizlarga ega bo'ladi, agar va faqat bo'lsa D = 4 – 4A 0, ya'ni. da A 1. (3) tengsizlikni yechish uchun funksiyalar grafiklarini tuzamiz Galitskiy M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebra va matematik analiz kursini chuqur o'rganish. - M.: Ma'rifat, 1990 yil
 Kramor V.S.. Biz algebraning maktab kursini va tahlilning boshlanishini takrorlaymiz va tizimlashtiramiz. - M.: Ma'rifat, 1990 yil.
 Galitskiy M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I.. Algebra bo'yicha masalalar to'plami. - M.: Ma'rifat, 1994 yil.
 Zvavich L.I., Hatter L.Ya. Algebra va tahlilning boshlanishi. Imtihon muammolarini hal qilish. - M.: Bustard, 1998 yil.
 Makarychev Yu.N. va boshqalar.Algebradan didaktik materiallar 7, 8, 9 hujayralar. - M .: Ta'lim, 2001 yil.
 Saakyan S.I., Goldman A.M., Denisov D.V. 10-11-sinflar uchun algebra va tahlilning boshlanishi masalalari. - M.: Ma'rifat, 1990 yil.
 Jurnallar "Maktabda matematika".
 L.S. Lappo va boshqalar. FOYDALANISH. Qo'llanma. - M .: Imtihon, 2001-2008.

1. 
   Vazifa.
   

Parametrning qaysi qiymatlarida a tenglama ( a - 1)x 2 + 2x + a- 1 = 0 ning aynan bitta ildizi bormi?

1. 
   Qaror.
   

Da a= 1 tenglama 2 ko'rinishga ega x= 0 va aniq bitta ildizga ega x= 0. Agar a№ 1, u holda bu tenglama kvadratikdir va kvadrat trinomialning diskriminanti nolga teng bo'lgan parametr qiymatlari uchun bitta ildizga ega. Diskriminantni nolga tenglashtirib, parametr uchun tenglamani olamiz a 4a 2 - 8a= 0, qaerdan a= 0 yoki a = 2.