Lettre mocad n°

4.6Conclusions

Ce nouveau modèle remédie à deux grands défauts de la théorie classique de fissuration distribuée : Le phénomène de blocage des contraintes et le traitement de plusieurs fissures dans un élément.

La procédure de résolution est donnée sous forme de l’algorithme précédent.

développement du 2^nd modèle pour le béton : ELASTOPASTICITE-ENDOMMAGEMENT

5Deuxième modèle : Analogie avec la plasticité 

5.1Formulation du critère

Dans un premier temps, nous avons utilisé la théorie de la plasticité pour modéliser le phénomène de dislocation du béton. Ces phénomènes se produisent sur une échelle très différente de celle due au mouvement des dislocations attribuées au comportement non linéaire. Les déformations induites sont souvent de nature plastique et irréversible.

Pour formuler l’évolution de l’endommagement du modèle, par analogie à la plasticité, nous avons utilisé les trois concepts de base de la plasticité (surface de charge, loi d’écoulement et l’écrouissage positif ou négatif pour piloter l’endommagement d par le multiplicateur plastique  et décrire ainsi le comportement du béton.

En fait, la surface de charge détermine si l’état de contraintes reste dans le domaine élastique ou s’il est régi par une certaine loi d’écoulement, la loi d’écoulement permet la formulation d’une relation élasto – plastique, l’écrouissage qui détermine la variation de la surface de charge en fonction de la déformation.

Le pilotage de la variable d’endommagement d est effectuée grâce à l’obtention de la valeur de la déformation plastique équivalente qui s’identifie à la valeur cumulée du multiplicateur plastique d.

Pour bien expliquer le modèle nous définissons par la suite les équations constitutives du modèle :

5.2choix d’un critère :

5.2.1la surface de charge :

La notion de surface de charge permet de déterminer la combinaison de contraintes qui sépare les deux régimes élastique et plastique [ REF _Ref528659536 \h réf 53]. Dans un cas tridimensionnel, le régime élastique est limité par un certain seuil appelé critère de plasticité. On appelle _s l’état de contraintes qui correspond au seuil de plasticité.

Si

- SEQ "-" \*Arabic 0

Si

Où : ^e est la déformation élastique,

^p est la déformation plastique,

g est une fonction potentielle décrivant le taux de déformation plastique par rapport à la valeur actuelle de la contrainte.

Le béton est considéré comme un matériau non standard, il nécessite donc la définition de deux potentiels plastiques. Pour des raisons de simplicité d’écriture, nous supposons dans un premier temps le béton comme un matériau standard et nous restons donc dans le cadre de la plasticité associée. Cette hypothèse implique que la direction de la variation de la déformation plastique reste normale à la surface initiale de charge. Dans ce cas particulier la fonction g est confondue avec la fonction f qui définie la surface de charge f et qui s’écrit :

f()  0

5.2.2Loi d’écoulement

Trois cas sont envisagés pour la fonction potentielle correspondant à une plasticité associée.

Si f() < 0  domaine élastique.

Si f() = 0  écoulement plastique.

Si f() > 0  exclu pour le comportement plastique indépendant du temps.

La loi d’écoulement correspond à l’égalité f() = 0. Elle est définie comme étant la loi de comportement des matériaux dans le domaine plastique. En général, elle dépend des invariants élémentaires du tenseur des contraintes, i.e. f = f (I₁, J₂, J₃).

Où :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

- SEQ "-" \*Arabic 0
: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

avec

- SEQ "-" \*Arabic 0

S_ij est le tenseur des contraintes dans le plan déviatorique.

Le critère de Von Mises utilisé dans le calcul est défini par la fonction suivante ( REF _Ref522098413 \h Figure ‎5.2 -18):

f() = _eq - _s = 0. : STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Avec

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Dans le cas général tridimensionnel et dans l’espace des contraintes principales ₁, ₂ et ₃, la surface de charge de Von Mises est représentée par un cylindre dont l’axe est la trissectrice du repère.

Figure STYLEREF 2 \s ‎5.2  Surface de charge de Von Mises dans l’espace 1, 2 et 3 et dans le plan déviateur

Pour le béton, le critère de Von Mises n’est pas adapté car il représente un seuil symétrique en traction et en compression. Il est admis que le béton est sensible aux contraintes hydrostatiques, nous avons donc opté pour le critère de druker-Pager qui s’écrit :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Avec :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.
Où c est la cohésion et  est l’angle de frottement interne.

Figure STYLEREF 2 \s ‎5.2  Surface de charge de Mohr - Coulomb

5.2.3Écrouissage isotrope

Dans le cas d’un écrouissage isotrope, la transformation de la surface de charge se fait par homothétie (dilatation du critère), l’évolution est ainsi gouvernée par une seule variable scalaire. Un nouveau terme V_K est alors ajouté à la fonction potentielle f :

f = f(, V_K) : STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Où V_K dépend des conditions de l’écoulement ou de l’écrouissage.

En outre, pour un écrouissage positif, on envisage plusieurs cas selon le signe de df

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

1) Si f < 0, on est dans le domaine élastique (si df < 0 ou df > 0)

2) Si , il y a un écoulement ou une charge : STYLEREF 2 \s ‎5.2.

3) Si f = 0 et , il y a une décharge : STYLEREF 2 \s ‎5.2.

La REF _Ref528744170 \h Figure ‎5.2 -20 indique schématiquement l’évolution de la surface de charge pour des matériaux standards lors d’un écrouissage isotrope.

Figure STYLEREF 2 \s ‎5.2   : critère de plasticité,

D’une manière pratique, selon la loi de la normalité et en admettant le principe du travail maximal nous pouvons écrire 

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

est une quantité scalaire non négative qui représente la caractéristique de la vitesse de la déformation plastique du modèle et qu'on appelle le paramètre de consistance .

La condition de consistance fait que durant l'écoulement plastique la contrainte résultante reste sur la surface de charge. Sous cette condition nous obtenons :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

étant le module d’écrouissage.
Le multiplicateur plastique dlamda doit être déterminé lorsque l’état final des contraintes sera de retour sur la surface de charge. Ceci implique l’égalité suivante :
: STYLEREF 2 \s ‎5.2.
En, utilisant le schéma d’intégration explicite nous remplaçons S*=Sn+1 et nous avons par la suite la valeur de en fonction de l’état de contrainte estimé à la fin de l’incrément Sn+1 et du paramètre d’écrouissage K à l’état précédent (n) :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.
Pour tenir compte de la dissymétrie du comportement du béton H prend une valeur positive en compression et négatif en traction
En replaçant dans l'équation

et en appliquant la loi de normalité, on arrive à l'équation suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Il s’agit pour le moment de la procédure standard de la plasticité. Dans le nouveau modèle nous avons postulé que la plasticité s’effectue en même temps que l’endommagement. Nous remplaçons ainsi la matrice élastique qui sert à prédire l’état des contraintes Sn+1 par la matrice de rigidité de l’endommagement Ds qui est définie par :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Cette matrice dépend aussi de la déformation plastique et de l’état d’écrouissage, Or à l’état initial Ds est confondue avec De. Nous pouvons donc calculer et par la suite l’état des contraintes réelles Sn+1r correspondantes à la déformation élastoplastique avec l’équation suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Ce nouvel état de contrainte est calculé pour qu’elle soit sur la surface de charge, nous pouvons ainsi actualiser la valeur du paramètre d’écrouissage Kn+1 et obtenir par la suite la valeur de la contrainte équivalente en écrivant :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Ayant obtenu l’état des contraintes on détermine par la suite la variable d’endommagement d en utilisant la courbe de la loi de comportement reliant la contrainte équivalente à la déformation équivalente.

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.
La rigidité D du matériau endommagé devient  ainsi selon l’expression classique :

: STYLEREF 2 \s ‎5.2.

Le 3^ème nouveau modèle MODEV adopté pour le béton :

Endommagement déviatorique