Lettre mocad n°

4.5Validation

4.5.11. Problème de WilLam et al [ REF _Ref528656005 \h réf 86]

Pour illustrer le problème de blocage des contraintes avec les modèles de fissuration distribuée, Willam [ REF _Ref528656005 \h réf 86] ont proposé un cas de figure élémentaire sollicité en traction- cisaillement ( REF _Ref528744024 \h Figure ‎4.5 -12). L’exemple consiste à prendre un seul élément et à le solliciter en :

• 
  traction simple  :_xx :_yy :_xy=1 :- :0 jusqu’à l’initiation de la première fissure.
  
• 
  Et Immédiatement après on le sollicite en bi traction+ cisaillement : l’état de chargement est alors proportionnel à _xx :_yy :_xy=0,5 :0,75 :1,00
  

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5  exemple élémentaire de WILAM at al. [ REF _Ref528656005 \h réf 86]

• 
  Module d’Young : E=10 000N/mm²
  
• 
  Coefficient de Poisson : =0,2
  
• 
  Résistance à la traction : f_ct=1N/mm²
  
• 
  Déformation ultime à contrainte nulle : ^cr_u=0,0003
  

Nous avons calculé avec un programme Fortran la réponse des trois modèles classiques de la fissuration distribué :

• 
  Méthode d’une seule fissure fixe ;
  
• 
  Méthode de fissuration tournante ;
  
• 
  Méthode de fissuration multiple ;
  

Dans les graphiques suivants on a noté  :

• 
  MSFF: Modèle d’une seule fissure fixe (classique) ;
  
• 
  MFT  : Modèle de fissuration tournante ;
  
• 
  MFM : Modèle de fissuration multiple (classique) avec un angle seuil de 15° ;
  
• 
  MSFF2 : nouveau modèle avec une seule fissure fixe ;
  
• 
  MFM2 : nouveau modèle de fissuration multiple avec l’angle seuil de 15 ;
  

Dans les modèles classiques, on prend le coefficient de conservation de cisaillement :

: STYLEREF 2 \s ‎4.5.

pour les modèles MSFF et MFM

et :

: STYLEREF 2 \s ‎4.5.

pour le modèle MFT.

Tandis que pour les calculs avec MSFF2 et MFM2, on a appliqué la nouvelle loi de fissuration développée au paragraphe précédent.

Résultats et commentaires

La REF _Ref528744067 \h Figure ‎4.5 -16 montre l’évolution de la contrainte de cisaillement en fonction de la déformation tangentielle. La comparaison avec les résultats de la littérature montre que le comportement rigide signalé par de nombreux auteurs (Willam et al [ REF _Ref528656005 \h réf 86] de Borts et Rots [ REF _Ref528655219 \h réf 79], Rots et Blauuwendraad [ REF _Ref528655156 \h réf 78]) n’existe plus, le cisaillement revient à 0 quand la fissure est complètement ouverte.

La réponse contrainte déformation dans le repère principal est tracée sur la REF _Ref528744116 \h Figure ‎4.5 -13. Le phénomène de réaugmentation de la contrainte principale après fissuration est clairement mis en évidence par les modèles classiques et cela même pour une fonction décroissante du facteur de conservation du cisaillement . La contrainte principale dépasse largement la limite élastique de 1 MPa du matériau, la figure montre encore une fois que le comportement du modèle fissuration distribuée dans sa nouvelle version « fissuration multiple MFM2 » ne rencontre plus le blocage des contraintes.

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5   : contrainte principale- déformation principale, illustration du blocage des contraintes

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5   : contrainte XX- déformation XX pour les différents modèles

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5   : contrainte YY - déformation YY pour les différents modèles

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5   : courbes cisaillement- glissement pour les différents modèles

4.5.2Algorithme pour le traitement de plusieurs fissures

Pour le traitement de plusieurs fissures, nous avons utilisé un critère de fissuration basé sur la contrainte principale majeure de traction. C’est à dire que, l’initiation de la fissure se fait quand la contrainte normale majeure atteint la résistance à la traction f_t, la normale de la nouvelle fissure est donnée par la direction de cette contrainte principale.

Au cours de chargement, les fissures peuvent « changer de phase », par exemple de phase d’adoucissante à la phase de décharge. Donc, chaque fissure est caractérisée non seulement par l’état de contrainte et de déformation, mais aussi par la possibilité de changement de phase. Ainsi, la phase courante de chaque fissure est gardée en mémoire et notée par un indice Iplast.

Dans un incrément de déformation, d’une part on doit vérifier l’initiation de la nouvelle fissure et ainsi contrôler le changement de phase pour les fissures existantes. Cet aspect est pris en compte au moyen d’une série des coefficients - l’indice pour lequel on prévoit le changement de phase. Il est ainsi nécessaire de subdiviser l’incrément de déformation en utilisant plusieurs itérations, pour chaque changement de phase ou pour une initiation d’une nouvelle fissure.

Figure STYLEREF 2 \s ‎4.5   : indice de phase Iplast

L’algorithme est résumé par l’organigramme suivant :