Lettre mocad n°

3.4Théorie de la bande de fissuration

Bazant et Oh [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] ont développé un modèle basé sur l’hypothèse de localisation des fissures dans une bande de fissuration d’une certaine largeur w_c. Ils ont justifié cette hypothèse du point de vue de la physique des matériaux hétérogènes et du point de vue numérique en obtenant des résultats objectifs vis à vis du maillage.

Une multitude des microfissures fait l’objet de cette bande de largeur w_c. Ils supposent une distribution uniforme des déformations des microfissures ^f .

Pour une fissure de normale Oz dans le repère principal Oxyz, leur loi de comportement s’écrit :

: ‎3.4.

avec une relation linéaire entre _f et la contrainte normale _z

-: ‎3.4.

ils ont alors :

: ‎3.4.

Où :
 -: ‎3.4.

₀ étant le seuil de déformation à la rupture du matériau.

Figure ‎3.4   : comportement à la traction simple

Finalement, la loi de comportement dans le repère de la fissuration s’écrit :
: ‎3.4.
Où C_ij sont des composantes de la matrice de complaisance du matériau sain.

-: ‎3.4.

Pour déterminer C_f, Bazant et al [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] ont introduit une nouvelle propriété du matériau, c’est la largeur de la bande de fissuration w_c. Donc, les propriétés de rupture du matériau sont caractérisées par trois paramètres : énergie de rupture, résistance à la traction uniaxiale et largeur de la bande de fissuration. Le module d’adoucissement étant déduit de ces trois paramètres :

-: ‎3.4.

Les valeurs des trois paramètres de matériau sont déterminées d’après les résultats d’essais, pour la largeur de bande de fissuration, on utilise une valeur d’environ 3d_a (d_a la taille moyenne des granulats).

Approche non locale

La théorie de bande de fissuration suppose un saut brusque de déformation au voisinage de la bande. En réalité, la déformation est plus régulière , c’est pour cette raison qu’une une conception du milieu continu non locale a été adopté. Cette méthode a été introduite par Kröner [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] puis développée par plusieurs auteurs : Krumhansl [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ], Kunin [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ], …etc.

Hypothèse de base : La contrainte en un point est une fonction de la distribution de déformation sur un certain volume caractéristique centré autour de ce point :

: ‎3.4.

étant un coefficient de pondération

V est défini à partir de la longueur caractéristique du matériau.

En se basant sur cette relation clé, on établit des équations de base de mouvement (ou de l’équilibre) :

: ‎3.4.
Où c est un coefficient expérimental tel que :

• 
  C égal à 0 correspond à une formulation purement non locale,
  
• 
  C égal à 1 correspond à une formulation purement locale.
  

est l’opérateur de Laplace,  est la longueur caractéristique du matériau.

Pour les calculs éléments finis, une technique des couches des éléments de la taille l a été appliquée. Par conséquent, il y a des changements dans la connexion nodale et dans la numération des nœuds [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].

3.5MODELE MICROPLAN

Dans le modèle micro plan, les propriétés du matériau sont représentées séparément dans des plans de différentes orientations appelés micro-plans (Figure ‎3.5 - ), chaque plan est défini par sa normale extérieur. Le comportement à l’échelle du micro-plan est donné par des relations entre les vecteurs contraintes et les vecteurs déformations. Les composantes des déformations sont définies comme étant les projections des déformations macroscopiques du milieu sur ces plans, c’est l’hypothèse cinématique. L’hypothèse statique fait la même chose sur les contraintes. L’hypothèse cinématique est, selon Bazant [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] nécessaire pour la stabilité du modèle lors de la phase d’adoucissement.

Les contraintes macroscopiques sont obtenues en utilisant le principe des travaux virtuels. Le passage à l’échelle de la structure est effectué à partir de l’équilibre des contraintes entre le niveau microscopique et le niveau macroscopique.

Taylor [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] a utilisée en premier cette approche, puis Badorf et Boudiaski [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] pour les modèles de plasticité développés pour les métaux. Ce concept a été ensuite appliqué aux sols et aux roches par Zienkiewicz [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] puis aux bétons par Bazant et Oh [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].

Figure ‎3.5   : principe des microplans

-: ‎3.5.
Où :

• 
  n_i est composante cosinus de la normale à chaque microplan.
  
• 
  est la composante normale des déformations pour chaque plan.
  
• 
  sont des composantes du tenseur global des déformations.
  

La relation clé entre la contrainte normale et la déformation normale pour chaque plan s’exprime de la manière suivante : (à noter que cette loi peut être linéaire, non linéaire, croissante ou adoucissante…) :

-: ‎3.5.
et la loi de comportement incrémentale au niveau macroscopique obtenue par le principe des puissances virtuelles s’écrit :

-: ‎3.5.
Où :

-: ‎3.5.

Dans cette expression, la fonction f(n) représente la densité de microfissures selon une direction quelconque n, elle permet de prendre en compte l’anisotropie du béton.

Pour les calculs éléments finis, la matrice tangente est estimée par intégration numérique, en intégrant généralement sur une sphère unitaire.

En comparaison avec les méthodes macroscopiques :

• 
  Ce modèle semble plus réaliste et peut capter le processus de propagation de fissure en cours de chargement.
  
• 
  Les modèles macroscopiques ne fournissent pas suffisamment d’informations concernant le développement des fissures. On peut utiliser le modèle microplan pour déterminer les paramètres du matériau (longueur caractéristique ou largeur de la bande de fissuration), mais selon Bazant ce modèle est insuffisant pour décrire le comportement global. [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].
  
• 
  Sur le plan pratique, les calculs deviennent extrêmement lourds dès qu’on dépasse un certain nombre de microplans fissurés et ceci constitue la limitation principale du modèle vis à vis de son exploitation industrielle.