Lettre mocad n°

7.3Algorithme de résolution méthode sécante pour la formulation totale

Cette méthode consiste à construire une suite de solutions {U⁰},{U¹},…,{Uⁱ} ; {Uⁱ} calculée à partir de {U^i-1} en résolvant le système linéaire :

[K(U^i-1)]{Uⁱ}={F} ; i=1,2,3,…

ce qui peut s’écrire sous forme incrémentale en introduisant le résidu {Rⁱ} :

{Rⁱ}={R(U^i-1)}={F}-[K(U^i-1)]{U^i-1}

[K(U^i-1)]{Uⁱ}={Rⁱ}

{Uⁱ}={U^i-1}+{Uⁱ}

L’algorithme :
Calculer une solution approchée {U⁰} éventuellement nulle.

Construire {F} par assemblage des vecteur sollicitations élémentaires {f}.

i=1,2,… (pour chaque itération)

Pour chaque élément :

Extraire les valeurs {u^i-1} de {U^i-1}

Calculer [k(u^i-1)]

Calculer le résidu élémentaire {r}={f}-[k]{u^i-1}

Assembler comme dans un problème linéaire

[k] dans [K]

{r} dans {Rⁱ}

Résoudre comme dans un problème linéaire : [K]{ Uⁱ}={Rⁱ}

Construire la nouvelle estimation de la solution :

{Uⁱ}={U^i-1}+{Uⁱ}

Calculer la norme.

Test de convergence

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.3  schéma méthode sécante

7.4Algorithme de résolution méthode Newton-Raphson pour la formulation tangente

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.4  schéma Newton-Raphson

L'algorithme correspondant à cette méthode est semblable à l’algorithme de la méthode sécante, cependant [K] est remplacée par la matrice de rigidité dite « tangente » [K_t].

[K_t(U^i-1)]{Uⁱ}={R(U^i-1)} : STYLEREF 2 \s ‎7.4.

{Ui}={Ui-1}+{Ui}: STYLEREF 2 \s ‎7.4.

Où, l’expression mathématique de la matrice de rigidité tangente :

: STYLEREF 2 \s ‎7.4.

ou encore

: STYLEREF 2 \s ‎7.4.
Il y a des méthodes développées pour la construction de cette matrice tangente, en pratique, elle est obtenue par l’assemblage des matrices tangentes élémentaires [k_t].

7.5Méthode de longueur d’arc « Arc-length [ REF _Ref528664744 \h réf 21]

7.5.1Introduction 

Le traitement par la méthode des éléments finis de type déplacement d’un problème mécanique, faisant intervenir divers matériaux obéissant chacun à une loi de comportement non linéaire donnée, conduit, d’une façon générale, à la résolution d’un système d’équations algébriques de la forme suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎7.5.

avec :

• 
  est le vecteur résidu, il exprime l’état de déséquilibre de la structure à un instant de la sollicitation imposée (en cas d’un chargement proportionnel)
  
• 
  représente le vecteur des déplacements des nœuds de la structure discrétisée.
  
• 
  est le vecteur des forces nodales correspondant aux contraintes dans la structure à l’instant .
  
• 
  représente le vecteur chargement total appliqué à la structure.
  
• 
  désigne un paramètre de contrôle du chargement (forces externes, déplacements imposés) exercé à l’instant .
  

La solution du système d’équations est en fait un couple associant la réponse en déplacements de la structure à la sollicitation donnée.

La construction de la suite , entraîne l’obtention d’un système de équations avec inconnues. Pour cela, il est nécessaire d’écrire une relation complémentaire, liant le facteur de charge et le champ de déplacements , afin d’avoir autant d’équations que d’inconnues (n déplacements et un facteur de charge).

Plusieurs types de relations complémentaires ont été proposés dans le but de résoudre des problèmes non linéaires plus au moins complexes.

Les relations suivantes correspondent toutes à un chargement proportionnel et elles dépendent du choix du facteur de charge .

7.5.2La méthode classique

Le facteur de charge est imposé et fixé pour toutes les itérations du calcul, c'est le processus itératif classique de type Newton Raphson.

Dans le cas d'une modélisation unidimensionnelle, la solution du problème est l'intersection entre la droite de chargement imposé et le chemin d'équilibre représentant le comportement non linéaire. Ce processus peut se schématiser par la REF _Ref528744285 \h Figure ‎7.4 -27.

Dans ce cas, pour chaque itération, le système à résoudre est le suivant:

: STYLEREF 2 \s ‎7.5.

Cette méthode faisant intervenir un chargement fixe, ne permet pas d’obtenir une solution aux points limites tels que les ‘pics’, les points de retournement ou de bifurcation ( snap-through ou snap-back). On les schématise par la REF _Ref528744313 \h Figure ‎7.5 -29

Pour cela, nous faisons appel à d’autres méthodes. Les plus connues ont été développées, à l’origine, par ‘Riks’ (1972) et ‘Crisfield’ (1983), pour la résolution par la méthode des éléments finis des problèmes intégrant des comportements avec ’pic’ afin d’obtenir une solution après le ‘pic’.

Ces méthodes sont nécessaires car la méthode de résolution classique, pour laquelle le facteur de charge est constant, se bloque au voisinage du "pic" et ne permet pas de le dépasser.

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.5  SEQ "Figure" \*Arabic 28 : Méthode de résolution classique et comportement avec pic

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.5   : exemples de comportement de type snap back ou snap through

7.5.3La méthode ‘Crisfield’ de longueur d’arc sphérique :

La méthode de résolution ‘Crisfield’ est caractérisée par l'introduction d'une longueur appelée longueur d'arc qui définit le rayon d'une sphère centrée sur le dernier point convergé. Cette méthode consiste à trouver la solution de l’équation d’équilibre (1) située à une longueur d’arcdu dernier point convergé. ( REF _Ref528744352 \h Figure ‎7.5 -30)
Pour un problème unidimensionnel, la méthode conduit au schéma suivant: elle permet sans restriction de passer les pics dans les lois rhéologiques radoucissantes.

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.5  SEQ "Figure" \*Arabic 30 : Longueur d’arc sphérique pour un seul degré de liberté

7.5.4La méthode ‘Riks-Ramm’ de longueur d’arc linéarisée

Avec le même souci de contrôler les déplacements, 'Riks' et 'Ramm' proposèrent une méthode pour résoudre les problèmes avec passage de pics. Cette méthode est du même principe que la précédente, sauf que sa forme est linéaire.

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.5  variantes de la Méthode Arc legth : Méthode de Riks et méthode de Ramm.

La figure ci-dessus représente dans un schéma unidimensionnel le principe de la méthode 'Riks' et 'Ramm'. (la droite (D) a pour fonction de contrôler le déplacement).