Lettre mocad n°

6.4Corrections apportées au modèle d’endommagement classique

Le modèle d’endommagement classique de Mazars considère toujours que la rupture est due aux extensions. Son caractère prédictif a été bien démontré pour des cas simples de chargement : traction – compression. Cependant, la modélisation des structures complexes, telles les ancrages soumis à des efforts de cisaillement, nécessite la prise en compte du glissement entre les lèvres des fissures. Le couplage endommagement – glissement, développé dans notre modèle, satisfait à cette nécessité.

Le nouveau modèle d’endommagement est ainsi capable de corriger les défauts du modèle d’endommagement classique et le modèle de fissuration distribuée. Les principales limitations constatées du modèle d’endommagement de base de Mazars [ REF _Ref528658573 \h réf 56] sont corrigées  :

6.4.1Non objectivité des résultats vis-à-vis du maillage :

L’expérience numérique montre une dépendance des résultats de calcul vis-à-vis du maillage qui se traduit par la localisation de l’endommagement. Ce problème est partiellement résolu en prenant en compte de l’aspect énergétique.

6.4.2Endommagement limité à l’extension

Pour qu’il y ait endommagement la formulation du modèle nécessite l’existence d’une extension au moins dans une seule direction, ceci implique que les déformations de contraction ne peuvent en aucun cas être à l’origine de l’endommagement. Un autre défaut du modèle d’endommagement de base : le cisaillement, il est mieux pris en compte dans le nouveau modèle d’endommagement.

Dans la suite, des exemples de simulations numériques seront donnés pour illustrer les améliorations apportées par le nouveau modèle d’endommagement.

7Implémentation numérique dans le code de calcul symphonie :

7.1Le code de calcul SYMPHONIE :

SYMPHONIE [ REF _Ref528656092 \h réf 59] est un code de calcul général aux éléments finis développé au CSTB par Ghassan MOUNAJED. Il possède un pré et post processeur graphique Visual-Sym et d’une large bibliothèque d’éléments uni, bi et tridimensionnels pour la résolution des problèmes mécanique statique, dynamique, thermique stationnaire et transitoire, thermo-hygro-mécanique. Selon le type du problème la résolution peut s’effectuer en linéaire et non linéaire. Le code de calcul SYMPHONIE possède aussi d’une large gamme de solveurs optimisés pour la résolution des grands systèmes symétriques et non symétriques ; solveur direct Bande avec algorithme d’optimisation de la numérotation, solveur direct avec stockage des matrice creuses«Sparse matrix» et finalement des solveurs sparses itératifs basés sur la méthode du gradient conjugué pour la résolution des très grands systèmes [ REF _Ref528735079 \h réf 62].

7.2Implémentation 2D et 3D [ REF _Ref528736724 \h réf 23]

Le modèle est implémenté en 2D et 3D avec des éléments iso paramétriques de type quadrilatère à 4 nœuds et hexaédrique à 8 nœuds respectivement.

Soit un élément de volume V et de la frontière dV. Les degrés de liberté de l’élément sont des déplacements de ses nœuds u₁…u_n et sont présentés par le vecteur de déplacements nodaux u

La méthode d’approximation par éléments finis permet de déduire le déplacement u(x) en tout point x de l’élément à travers la matrice des fonctions d’interpolation N telle que 

- SEQ "-" \*Arabic 0

Le tenseur de déformation est la partie symétrique du gradient du déplacement u(x) et s’exprime en liant avec le vecteur de déplacements nodaux :

- SEQ "-" \*Arabic 0

La loi de comportement mécanique de l’élément nous permet d’écrire

Pour écrire l’équilibre de l’élément, on considère un champ de déplacement cinématiquement admissible u’ auquel est associé le champ de déformation et l’on écrit le principe des travaux virtuel :

- SEQ "-" \*Arabic 0

Où f_v et F sont des efforts extérieurs volumiques et surfaciques. En tenant compte de la loi de comportement et des relations portant sur le vecteur de déformation et de déplacements nodaux, on a :

- SEQ "-" \*Arabic 0

Où U’ représente le vecteur de déplacements nodaux virtuel. On a:

- SEQ "-" \*Arabic 0

Cette égalité est vérifiée quel que soit {U’}, elle entraîne donc

- SEQ "-" \*Arabic 0

K est la matrice de rigidité de l’élément:

- SEQ "-" \*Arabic 0

{f} est la colonne des forces extérieures généralisées aux nœuds:

- SEQ "-" \*Arabic 0

La résolution du système [K].{U}={F} fournit des déplacements nodaux. On en déduit les déplacements de tout point, les déformations et les contraintes.

7.2.1Elément quadrilatère à 4 nœuds

P
our un élément quadrilatère à 4 nœuds, le champ de déplacement en tout point est approché en utilisant les fonctions d’interpolation <N >:

avec

En pratique, pour chaque type d’élément, on utilise l’élément de référence repéré dans un espace de référence qui est lié avec l’élément réel par une transformation géométrique.

Ici,

: STYLEREF 2 \s ‎7.2.

La matrice Jacobienne de la transformation géométrique entre l’élément réel et l’élément de référence :

: STYLEREF 2 \s ‎7.2.

La matrice B est construite par la formulation suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎7.2.
Dans des codes de calcul aux éléments finis, on utilise l’intégration numérique par la somme pondérée des quantités aux points d’intégration afin d’éviter le calcul des intégrales. Pour cela, on organise le calcul des matrices élémentaires :

• 
  Opérations communes à tous les éléments de même type :
  

• 
  Calcul des coordonnées et des poids w_r correspondant aux points d’intégration.
  
• 
  Calcul des fonctions N et leurs dérivées en  aux points d’intégration.
  

• 
  Opérations pour calculer la matrice de rigidité
  

• 
  Initialiser à zero la matrice.
  

• 
  Pour chaque point d’intégration :
  

• 
  Calculer la matrice Jacobienne [J] à partir des dérivées en  des fonctions N ainsi que son inverse et son déterminant.
  
• 
  Construction les matrices [B] et [D]
  
• 
  Accumuler dans [k] le produit [B]^T[D][B]det[J]w_r
  

• 
  Opérations pour calculer le vecteur des sollicitations {f}
  

• 
  Initialiser le vecteur à zéro
  
• 
  Pour chaque point d’intégration
  
• 
  Calculer la matrice Jacobienne et son déterminant
  
• 
  Accumuler dans {f} le produit : {N}f_v det[J]w_r
  

Puis, on effectue l’opération d’assemblage pour avoir un système global [K]{U}={F} qui est résolu par des méthodes de résolution numériques.

7.2.2Elément solide 3D isoparamétrique à 8 nœuds :

Le développement numérique du modèle en 3D est effectué selon le même principe établi pour l’élément 2D. Deux règles d’intégration de points de Gauss ont été développées :

Figure STYLEREF 2 \s ‎7.2  élément 3D solide

Position des points de Gauss selon deux règles : (Intégration numérique )

Coordonnées des points de Gauss Coordonnées des points de Gauss

Règle 2x2x2 Règle 14 points