Lettre mocad n°

6.2Formulation du nouveau modèle d’endommagement MODEV

6.2.1Principes physiques et mécaniques des modèles d’endommagement :

L’objet de la mécanique de l’endommagement est de traduire l’influence de la dégradation par naissance, croissance et coalescence des micro fissures et micro vides au sein de la matière. Elle se base sur l’introduction d’une variable interne appelée variable d’endommagement. cette variable peut être un scalaire, un tenseur de second ordre ou même du 4^ème ordre.

L’endommagement représente une perte de raideur élastique du matériau. Il peut être interprété comme le rapport de l’aire qui résiste effectivement sur celle du matériau vierge, c’est le concept de la contrainte effective introduite par KACHANOV [ REF _Ref528659681 \h réf 45, REF _Ref528659536 \h réf 53].

Pour décrire ce phénomène, il existe deux approches à l’échelle de l’observation :

• 
  une approche macroscopique ou le béton est considéré comme matériau homogène continu, MARIGO [ REF _Ref528664163 \h réf 55] & ANDRIEUX [ REF _Ref528659222 \h réf 8]
  
• 
  une approche dite « micro-macro » liée à la description fine des hétérogénéités du milieu continu. La réponse globale se fait au moyen d’une technique d’homogénéisation.
  

par la suite, nous nous intéresserons à l’approche macroscopique pour formuler notre modèle.

Parmi les conséquences diverses de l’endommagement sur le comportement des matériaux on cite :

• 
  La modification du comportement élastique qui se traduit par un changement des caractéristiques mécaniques.
  
• 
  La modification du comportement viscoplastique (notamment pour les métaux).
  
• 
  La création des déformations résiduelles en dehors de toute plasticité c’est le cas des matériaux fragiles.
  

Devant la complexité des mécanismes de micro fissuration locaux, la variable d’endommagement est définie comme étant l’opérateur qui, appliqué à la contrainte usuelle , donne la notion de contrainte effective en se basant sur le principe d’équivalence en déformation. Ce principe suppose que le comportement à la déformation de la matière n’est affecté par l’endommagement que sous la seule forme de la contrainte effective [ REF _Ref528659536 \h réf 53].

Dans le cas tridimensionnel, si l’endommagement se traduit au sein du matériau par une distribution, et une orientation des micros défauts, totalement aléatoire à l’échelle macroscopique, on parlera d’endommagement isotrope, c’est à dire à une seule variable interne scalaire nécessaire à la description du phénomène, KACHANOV [ REF _Ref528659681 \h réf 45, REF _Ref528659536 \h réf 53] avait proposé :

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

Où : D est la variable d’endommagement.

• 
  : correspond au matériau vierge.
  
• 
  : correspond à la présence de micro fissures qui engendrent une surface résistante effective.
  
• 
  : correspond à la rupture de l’élément de volume, ç’est à dire à l’existence d’une micro fissure traversant (prend en générale des valeurs voisines de 1).
  

: est un tenseur symétrique d’ordre 4 dont les composantes sont les coefficients d’élasticité.

 : est le tenseur de déformation élastique.

si la loi de comportement élastique de la matrice sain s’écrit :

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

la loi de comportement endommagé est :

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

ou bien

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

En général, l’endommagement conduit à une évolution anisotrope des caractéristiques mécaniques. La variable d’endommagement ne peut être un scalaire, et doit avoir un caractère tensoriel (D). Dans ces conditions le concept de la contrainte effective s’écrit :

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

Où M(D) est un opérateur linéaire du 4ème ordre.

Le problème qui se pose en cas d’anisotropie est le non-respect de :

• 
  la continuité par rapport au modèle isotrope.
  
• 
  la symétrie de l’opérateur nécessaire à l’existence du potentiel élastique du milieu considéré.
  

Les directions des contraintes normales principales sont variables dans le cas de chargements non radiaux.

Par conséquent l’introduction d’une variable tensorielle d’endommagement D pose un problème d’identification expérimentale et la loi de comportement obtenue s’écrit :

: STYLEREF 2 \s ‎6.2.

et sont les coefficients de Lamé du matériau sain.

6.2.2Considérations spécifiques pour le béton

L’endommagement est un phénomène irréversible d’origine microscopique, avec des conséquences sur le comportement macroscopique : baisse de rigidité, déformations irréversibles…

En raison de la forte hétérogénéité du béton, son endommagement est accompagné des déformations irréversibles. On postule pour le nouveau modèle d’endommagement déviatorique que ces déformations anélastiques sont dues au glissement entre les lèvres des microfissures d’une part et que le glissement est également à l’origine d’un endommagement supplémentaire du matériau, en plus de l’endommagement du aux extensions hydrostatiques des microfissures.

Pour prendre en compte le phénomène de glissement entre les lèvres des microfissures, on a pensé à l’utilisation du critère de plasticité de Von Mises. Néanmoins, ce critère ne met en jeu que l’énergie de cisaillement car les déformations plastiques ont pour mécanisme essentiel le glissement. Ce critère n’est certainement pas suffisant pour l’endommagement du béton, car ce matériau est aussi sensible au contraintes hydrostatiques et donc à l’énergie de déformation volumique. Cette dépendance peut être expliquée par le fait que la croissance des cavités et des fissures sont des mécanismes sensibles à la contrainte hydrostatique.

Ainsi pour formuler un critère d’endommagement on peut postuler que le mécanisme de l’endommagement est gouverné par trois énergies de déformation :

1. 
   l’énergie de déformation élastique totale
   
2. 
   l’énergie de distorsion
   
3. 
   l’énergie de déformation volumique
   

Afin de simplifier l’identification et les calculs de structure, et pour réduire le nombre de variables, on a opté dans un premier temps pour une seule variable d’endommagement, c’est à dire que l’endommagement est isotrope, une version orthotrope avec des déformations anélastiques, en cours de développement, sera présentée ultérieurement. La dissymétrie entre les comportements de traction et de compression n’est pas remise en cause, elle est prise en compte même avec la version isotrope.

Les bases du nouveau modèle

Sollicitation	Endommagement en mode de cisaillement Endommagement même si on n’a pas d’extension dans au moins une direction principale
Comportement	Elasticité +endommagement+ déformations irréversibles Dissymétrie traction- compression.
Endommagement	Existence d’un seuil – isotropie ou orthotrope selon le cas