Lettre mocad n°

6.3Approche thermodynamique du modèle l’endommagement :

Notre approche s’appuie sur les bases thermodynamiques issues de différents travaux de recherche de GERMAIN, CHABOCHE, MAZARS, LADEVEZE,…etc [ REF _Ref528736207 \h réf 36, REF _Ref528659146 \h réf 52, REF _Ref528659513 \h réf 19, REF _Ref528658573 \h réf 56, REF _Ref528658586 \h réf 50…].

Dans cette approche utilise les variables internes caractéristiques de l’état structural de la matière. Leur valeur conjuguée à celle des variables observables permet de définir l’état d’un système à un instant donné.

Dans le cadre d’une transformation isotherme (), l’approche considère le cas d’un couplage endommagement– élasticité avec déformation permanente

Les différentes variables sont classées dans le tableau suivant :

Variables observables	Variables associées	Variables internes
	Y	D
T	S

S : est l’entropie du système.

Y : est la variable thermodynamique associée à D.

1. 
   Approche thermodynamique
   

L’énergie libre spécifique s’exprime sous la forme :

on déduit ainsi les lois d’états :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

La dissipation thermique est nulle car la température est constante. Ainsi la dissipation intrinsèque s’écrit sous la forme :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

Le 2^ème principe de la thermodynamique et l’inégalité de Clausius Duhem impose :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

Les lois d’évolutions complémentaires, qui gouvernent les variables internes, sont thermodynamiquement acceptables si la dissipation intrinsèque est dans tous les cas, convexe et contient l’origine

L’utilisation d’un pseudo - potentiel de dissipation conduit à introduire l’hypothèse de normalité généralisée et à respecter la positivité de la dissipation.

En général il est commode de travailler avec un potentiel dual qui dépendra des variables duales, que sont les forces thermodynamiques associées aux variables flux.

 : est une fonction des variables associées à Y, dual de , obtenue par une transformation de Legendre - Frenchel.

 : est le multiplicateur d’endommagement

f : détermine le seuil d’endommagement, cette fonction doit être convexe et contenir l’origine

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.
: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

Avec :

pour le cas d’endommagement isotrope la variable thermodynamique associée à l’endommagement est aussi un scalaire :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

la loi de l’endommagement s’écrit donc sous la forme suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

6.3.1Critère d’endommagement :

Par analogie avec la déformation équivalente au sens de Mazars [ REF _Ref528658573 \h réf 56], traduisant l’état local d’extension d’un matériau, on a introduit deux nouvelles déformations équivalentes traduisant respectivement le glissement local dans les microfissures et l’état d’extension hydrostatique. Elles sont respectivement calculées à partir des tenseurs de déformations déviatoriques et sphériques. On a ainsi deux valeurs d’endommagement, correspondant respectivement à chacun des deux mécanismes de dégradations. Chaque endommagement, ayant sa propre loi, évolue lorsque sa déformation équivalente atteint un certain seuil K. Pour chaque état d’endommagement donné D, le seuil d’évolution est exprimé par une loi d’évolution de type :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

K_h et K_d sont les fonctions des endommagements classique et déviatorique

la déformation équivalente au sens de Mazars, traduisant l’état local d’extension d’un matériau est la suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.
la déformation équivalente déviatorique, traduisant l’état local de glissement du matériau est définie de la manière suivante :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

et pour la partie sphérique on a :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.

étant la déformation hydrostatique. On postule que seule une déformation hydrostatique d’extension est responsable de l’endommagement .

L’endommagement global est déduit par combinaison des endommagements correspondants à chaque mécanisme.

6.3.2Convexité de la loi d’évolution :

On sait que

Pour avoir une solution continue et respectant la thermodynamique, la surface seuil est choisie convexe et contenant l’origine.

6.3.3Prise en compte d’une loi énergétique pour l’endommagement à la traction

L’expérience numérique montre une dépendance du modèle d’endommagement classique vis-à-vis du maillage. Ceci se traduit par la localisation de l’endommagement et nécessite donc la prise en compte de l’aspect énergétique. Dans le modèle développé nous avons défini la loi d’endommagement en traction avec un écrouissage négatif défini par la pente Bt de la courbe contrainte/déformation.

Pour obtenir des résultats objectifs par rapport au maillage, c’est à dire une solution indépendante de la taille des éléments du maillage, on a utilisé la méthode de Hillerborg [ REF _Ref528736461 \h réf 37, REF _Ref528736463 \h réf 38]. Cette méthode consiste à introduire la mécanique de la rupture dans le calcul éléments finis en liant l’énergie de fissuration Gf , qui est définie comme l’énergie nécessaire pour créer une unité de surface en mode I, au paramètre d’écrouissage Bt qui permet de calculer la branche descendante du diagramme tension adoucissement. Bt dépend de la taille des éléments l de telle sorte que l’énergie de fissuration dans une bande d’éléments soit indépendante de la taille des mailles :

Gf = l  ft² / E : STYLEREF 2 \s ‎6.3.

Bt = l  ft / Gf : STYLEREF 2 \s ‎6.3.

où :

• 
  _d0 est le seuil de déformation en traction ;
  
• 
  E est le module d’Young  [Pa] ;
  
• 
  ft est la contrainte de traction au pic [Pa] ;
  
• 
  G_f est l’énergie de fissuration par unité de surface [J/ m²] ;
  
• 
  B_t module d’écrouissage de l’endommagement ;
  
• 
  l est la taille caractéristique des éléments.
  

En calcul 3D la longueur caractéristique des éléments est estimé à où V est le volume de l’éléments. soit finalement :

: STYLEREF 2 \s ‎6.3.