Lettre mocad n°

3.1INTRODUCTION

Afin d’améliorer la capacité des modèles existants à reproduire les différents mécanismes de fissuration du béton, une analyse des modèles existants a été effectuée. Dans certains cas nous avons été amené à adapter et améliorer ces modèles, c’est notamment le cas des modèles de fissuration distribuée. Nous allons dans la suite, analyser différents modèles théoriques proposés pour la modélisation du béton.

3.2METHODE DE FISSURATION DISCRETE

C’est l’une des premières approches théoriques visant à modéliser la fissuration du béton. Il s’agit d’une méthode utilisée pour modéliser la fissuration discrète par la méthode des éléments finis [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ], dans cette approche la fissuration est modélisée par une discontinuité géométrique réelle dans la maillage éléments finis en séparant les arrêtes des éléments voisins de la fissure.

L’équation constitutive qui contrôle l’ouverture de la fissuration donne la relation suivante entre l’incrément de contrainte de traction et l’incrément de déplacement relatif à travers la fissure :

: ‎3.2.

Où C^f est le module d’adoucissement.

Cependant, ce modèle pose quelques problèmes lors du calcul éléments finis :

• 
  Il y a un changement continu de la connexion nodale qui n’est pas compatible avec la nature de la méthode des éléments finis.
  
• 
  La fissuration est forcée à suivre une ligne prédéfinie selon la distribution géométrique des éléments.
  

Des techniques spéciales ont été mobilisées pour remédier à ces inconvénients comme le remaillage et la création de la fissure au sein de l’élément. L’exploitation industrielle de ce modèle n’est pas encore au point, en raison de la lourdeur de la méthode.

3.3THEORIE DE FISSURATION DISTRIBUEE

Cette théorie a été initialisée par Rashid ( STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] et puis développée par plusieurs auteurs, citons Rots, Wilam, Crisfield, Bazant [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. , STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].

Selon le concept de base de cette méthode, le milieu fissuré est supposé continu au sens des contraintes et des déformations, et les ruptures locales sont distribuées sur des surfaces déterminées d'éléments finis. Les déplacements relatifs des surfaces de rupture sont représentés par des déformations de rupture, et le comportement constitutif du béton fissuré est modélisé par une loi contrainte- déformation. Il suffit alors, lors du phénomène de la fissuration, de transformer la loi contrainte- déformation initialement élastique isotrope à une loi orthotrope après fissuration.

Figure ‎3.3   : principe de la fissuration distribuée.

3.3.1Equations constitutives de la fissuration distribuée

On se place dans le cadre de l’hypothèse des petites perturbations en considérant un volume élémentaire représentatif de béton fissuré. Après initiation de la fissure, le tenseur global de la déformation totale est décomposé en deux parties :

-: ‎3.3.

est la déformation du béton se trouvant entre les deux fissures, elle est considérée comme purement élastique.

est la déformation à la rupture représentant l'ouverture des microfissures,

La partie élastique du béton reste régie par la loi de Hooke :

-: ‎3.3.

étant la matrice définissant la loi de comportement du matériau continu.

Le tenseur global de la déformation à la rupture est donné par l’équation suivante :

-: ‎3.3.

Où est le vecteur local de la déformation à la rupture. Il est donné par l’équation suivante :

-: ‎3.3.

, et sont respectivement les déformations à la rupture en mode I, II et III.

Et N est la matrice de transformation définissant l’orientation de la fissure.

Dans le système de coordonnées locales, on définit un vecteur de traction lié au tenseur de contraintes globales par la relation :

-: ‎3.3.

Où :

-: ‎3.3.

est l’incrément de traction normale dans le mode I de rupture, et sont les incréments de traction correspondant aux modes II et III.

Pour le béton fissuré, l’incrément du vecteur de traction est donné par l’équation suivante :

-: ‎3.3.

Avec :

: ‎3.3.

Dans cette matrice DI, DII et DIII sont les modules de rigidité correspondant respectivement aux modes de rupture I, II et III. Ici, le couplage cisaillement - traction est négligé, c’est-à-dire que la contrainte normale à la fissure est uniquement fonction de la déformation normale et ne dépend pas des déformations tangentielles. La distinction entre les modes II et III de rupture n’étant pas pertinente, on restreint l’étude au mode II seulement.

En combinant les équations précédentes, on obtient l’équation  :

-: ‎3.3.

puis :

-: ‎3.3.

ou encore :

: ‎3.3.

Avec :

: ‎3.3.

Figure ‎3.3   : principe de décomposition

On peut déterminer le module de rigidité DI en se basant sur l’énergie de fissuration G_f  à travers la loi de comportement à la traction simple :

gf =Gf/wc-: ‎3.3.

où w_c est la largeur de la bande de fissuration [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ], on a :

-: ‎3.3.

k étant un coefficient caractérisant la forme de la courbe adoucissante contrainte – déformation, pour une courbe linéaire k est égal à 2.

Finalement, on a l’expression :

: ‎3.3.

Quant au module de cisaillement, le problème est plus délicat, un coefficient de conservation de cisaillement  caractérisant la capacité portante en cisaillement du béton fissuré est généralement utilisé :

-: ‎3.3.

Figure ‎3.3   :comportement au cisaillement du matériau fissuré

Le coefficient de conservation du cisaillement est inférieur à 1, selon différents auteurs [réf.] il est choisi soit comme une constante (généralement égal à 0,1) soit comme une fonction décroissante de la déformation de la fissure de telle sorte qu’il s’annule quand la fissure est complètement ouverte :

-: ‎3.3.

3.3.2Modèle avec une seule fissure fixe

C’est le modèle le plus simple de la méthode de fissuration distribuée. Dans ce modèle, on considère un repère de fissuration fixe dès l’apparition de la première fissure, c’est à dire, quand la contrainte majeure principale à la traction dépasse la résistance f_t .

La relation de comportement en incrémental du matériau fissuré est alors  :

: ‎3.3.

Avec :

: ‎3.3.

Figure ‎3.3  Repère fixe dès l’apparition de la première fissure.

N est la matrice de passage de dimension 3x2 pour un problème 2D :
: ‎3.3.
 est l’angle entre la normale de la fissure et l’axe ox du système global des coordonnées.

La matrice N est fixée, une fois pour toute, après apparition de la première fissure.

Ce modèle est applicable pour des chargements monotones (c’est à dire la direction principale des contraintes et déformations ne change pas au cours de la résolution). Des problèmes de blocage des contraintes sont malheureusement, souvent constatés avec ce modèle.

3.3.3Modèle de fissuration tournante

La méthode de fissuration tournante, proposé en premier par Cope [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] est un cas particulier de la méthode de fissuration distribuée, il consiste en particulier à forcer la coaxialité des directions principales des déformations et celles des contraintes.

Figure ‎3.3   : principe de la fissuration tournante

En faite, le modèle suppose une rotation continue de la direction de fissure, c’est à dire que la matrice de passage N n’est plus constante, et les directions principales du tenseur des contraintes et celles du tenseur des déformations sont toujours confondues avec la normale à la fissure.

Pour chaque incrément de déformations, suffisamment petit, et en se basant sur le cercle Mohr tracé en contraintes et en déformations, la condition de coaxialité impose l’expression suivante pour le module de cisaillement du matériau fissuré :

-: ‎3.3.

Donc, pour ce modèle, on a l’expression spéciale du coefficient de conservation du cisaillement :

-: ‎3.3.

Par conséquent, le module de cisaillement de la fissuration est :

-: ‎3.3.

Où, i et j représentent les directions principales initiales de chaque incrément.

Le modèle de fissuration tournante est basé sur l’hypothèse de coaxialité entre les déformations et les contraintes, hypothèse physiquement non justifiée dans la quasi totalité des cas. La rotation des axes principaux implique une rotation des défauts et microfissures ce qui est injustifiable physiquement [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].

3.3.4Modèle avec fissuration multiple 

L’objectif de ce modèle est de résoudre le problème de blocage des contraintes constaté avec le modèle à une seule fissure fixe. Pour atteindre cet objectif, une sous décomposition de la déformation de la fissure a été introduite de la manière suivante [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ] :

: ‎3.3.

est l’incrément de la déformation dans le système global dû à la première fissure,

est l’incrément de la déformation dans le système global dû à la deuxième fissure, etc.

…………….

est l’incrément de la déformation dans le système global dû à la nième fissure,

La relation entre contraintes et déformations globales devient :

-: ‎3.3.

Avec :

: ‎3.3.

Et :
: ‎3.3.

Où :

• 
  N1 est la matrice de transformation qui définit l’orientation de la première fissure, N2 est la matrice qui définit l’orientation de la deuxième fissure, etc.
  
• 
  D1cr est la matrice de rigidité correspondant à la première fissure, D2cr est la matrice de rigidité correspondant à la deuxième fissure, etc.
  

De plus, le modèle de fissuration multiple suppose généralement l’existence d’un angle seuil à partir duquel il y a apparition d’une nouvelle fissure. En-dessous de cet angle seuil, aucune nouvelle fissure n’est autorisée à s’amorcer.

Selon le principe du modèle de fissuration multiple, lorsque l’angle seuil est atteint, une nouvelle fissure est créée. Cette supposition constitue le principal inconvénient du modèle. En effet, elle présente un défaut lié à la dépendance de l’initiation de la fissure en mode I seulement. Les effets des modes II et III de rupture n’interviennent, en fait, qu’après rotation de la direction des contraintes principales. De plus, l’introduction de nouveaux paramètres dans le modèle constitue son principal inconvénient car ces paramètres, notamment l’angle seuil, ne sont pas objectifs et ils dépendent du choix de l’utilisateur [ STYLEREF 2 \s ‎4.4. ].