Ma’ruza. Tutash muhitlar mexanikasining predmeti, asosiy

Langranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilariga o’tish va aksincha Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga o’tish masalasi

Endi Lagranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilarga va aksincha, Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilarga o’tish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik muhitning harakati Lagranj o’zgaruvchilarida berilgan bo’lsin, ya’ni harakat qonuni (2.2) ko’rinishda berilgan bo’lsin. Bu sistemani
^{ i} larga nisbatan yechib (2.3) ko’rinishdagi harakat qonuniga ega bo’lamiz. Bu esa Eyler o’zgaruvchilaridir. Demak, Lagranj koordinatalaridan Eyler koordinatalariga o’tish uchun (2.2) sistemani
^{ i} larga nisbatan yechish kifoya.
Agar tezlik, tezlanish harorat va boshqa parametrlar Lagranj koordinatalarida berilgan bo’lsalar,

v

w
ya’ni
^→  v ( ⁱ


,t ),
^→ w ⁱ


,t ),


T  T ( ⁱ

,t )

_ →
ko’rinishda bo’lsa, u holda  ⁱ
larning o’rniga (2.3) ifodalarni qo’yib bu parametrlarni Eyler

koordinatalariga o’tkazish qiyin emas
→ → _{i j} → _j

v  v (
→ →
,(x ,t )t )  v (x
j
,t );
j

w  w (x
,t );
T  T (x
,t ).

Aksincha, faraz qilaylik fazoda tezliklar taqsimlanishi Eyler koordinatalarida berilgan bo’lsin, soddalik uchun bu parametrlarni Dekart koordinatalari sistemasida qaraymiz

V _x V _x (x , y , z ,t ),
V _y V _y (x , y , z ,t ),
V _z V _z (x , y , z ,t ) ^.

^{Tezlikning V}x^{, V}y^{, V}z ^{komponentalari (1.5) formulalarga ko’ra, alohida nuqtaning 1, 2 ,}
³koordinatalarning o’zgarmas qiymatlari uchun mos ravishda x,y,z koordinatalardan vaqt bo’yicha olingan hosilalaridir. U holda

^dx  v ( x, y,z,t ),
dy _{ v}
( x, y,z,t ),
^dz  v ( x, y,z,t )

dt ^x
dt ^y
dt ^z

ifodalarni x, y va z larga nisbatan yechib, ularni vaqtning funksiyasi sifatida aniqlaymiz. Lekin, bu yerda ^{uchta c}1^{, c}2^{, c}3 ^{integrallash o’zgarmaslari paydo bo’ladiki ular vaqtning biror t}0 ^{payti uchun x, y, z larning}

konkret qiymatlari bilan aniqlanadilar, ya’ni biror nuqtani alohidalashtiradilar. Bu esa Lagranj koordinatalari degan so’zdir.
Demak, tezliklar maydoni berilganda Eyler koordinatalaridan Lagranj koordinatalarga o’tish oddiy differensial tenglamalar sistemasini integrallash bilan bog’liq.
Yuqorida bayon qilinganlardan ko’rinib to’ribdiki tutash muhitning harakatini o’rganishda Lagranj va Eyler nuqtai nazarlari mexanik ma’noda bir-biriga ekvivalentdir.
Mavzuga oid namunaviy masalalar

1. 
   masala. Tutash muhitning harakati Lagranj ko’rinishida quyidagicha berilgan:
   

(a)
x₁  ₁,
x₂  ₂  A₃,
x₃  ₃  A₂ .

(b)
x₁  ₁
  (e² 1),
x₂  ₂
  (e²  e^2 ),
x  e²

3

3

3

3
Harakatni Eyler o’zgaruvchilari orqali ifodalang.
Yechish: Ma’lumki Lagranj va Eyler o’zgaruvchilari orasida bir qiymatli moslik bajarilishi uchun

shart bajarilishi zarur va etarli,

1. 
   J o’tish yakobianini hisoblaymiz
   

x₁
_{1
J } x₂
₁
x₃
₁
x₁
₂
x₂
₂
x₃
₂
x₁
₃
x_{2  0}
₃
x₃
₃

1
J  0
1
0 0
1 0  1  A²  0 ^,
A 1

bundan A  1 bo’lganda o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatiladi. Eyler o’zgaruvchilarida harakat

quyidagicha aniqlanadi
^{x1  }₁^,


^{1  x1 ,}

^{1  x1, }

^x  
 A , ^{ x}
   A
_,  ^
_{2 } ^₁  x₁ ,

^ 2 2
₃ ^ 2 2
3 _^{x2  2  A3  A 2,
}  ¹ Ax
 x ,

x



 



 3 3
 A₂ ,
^_₃  x₃  A₂ ,
^ ₃  x₃
 A₂,
^ 2

_{A2  1 3} ²
A

^₃  x₃ 

A²  1
Ax₃  x₂ 

2. 
   Bu holda ham
   

J  0
o’tish yakobiani noldan farqli bo’ladi. Eyler o’zgaruvchilarida harakat

quyidagicha aniqlanadi