Langranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilariga o’tish va aksincha Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilariga o’tish masalasi
Endi Lagranj o’zgaruvchilaridan Eyler o’zgaruvchilarga va aksincha, Eyler o’zgaruvchilaridan Lagranj o’zgaruvchilarga o’tish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik muhitning harakati Lagranj o’zgaruvchilarida berilgan bo’lsin, ya’ni harakat qonuni (2.2) ko’rinishda berilgan bo’lsin. Bu sistemani
i larga nisbatan yechib (2.3) ko’rinishdagi harakat qonuniga ega bo’lamiz. Bu esa Eyler o’zgaruvchilaridir. Demak, Lagranj koordinatalaridan Eyler koordinatalariga o’tish uchun (2.2) sistemani
i larga nisbatan yechish kifoya.
Agar tezlik, tezlanish harorat va boshqa parametrlar Lagranj koordinatalarida berilgan bo’lsalar,
v
w
ya’ni
→ v ( i
, t ),
→ w i
, t ),
T T ( i
,t )
→
ko’rinishda bo’lsa, u holda i
larning o’rniga (2.3) ifodalarni qo’yib bu parametrlarni Eyler
koordinatalariga o’tkazish qiyin emas
→ → i j → j
v v (
→ →
,(x ,t )t ) v (x
j
,t );
j
w w (x
,t );
T T (x
,t ).
Aksincha, faraz qilaylik fazoda tezliklar taqsimlanishi Eyler koordinatalarida berilgan bo’lsin, soddalik uchun bu parametrlarni Dekart koordinatalari sistemasida qaraymiz
V x V x (x , y , z ,t ),
V y V y (x , y , z ,t ),
V z V z (x , y , z ,t ) .
Tezlikning Vx, Vy, Vz komponentalari (1.5) formulalarga ko’ra, alohida nuqtaning 1, 2 ,
3koordinatalarning o’zgarmas qiymatlari uchun mos ravishda x,y,z koordinatalardan vaqt bo’yicha olingan hosilalaridir. U holda
dx v ( x, y,z,t ),
dy v
( x, y,z,t ),
dz v ( x, y,z,t )
dt x
dt y
dt z
ifodalarni x, y va z larga nisbatan yechib, ularni vaqtning funksiyasi sifatida aniqlaymiz. Lekin, bu yerda uchta c1, c2, c3 integrallash o’zgarmaslari paydo bo’ladiki ular vaqtning biror t0 payti uchun x, y, z larning
konkret qiymatlari bilan aniqlanadilar, ya’ni biror nuqtani alohidalashtiradilar. Bu esa Lagranj koordinatalari degan so’zdir.
Demak, tezliklar maydoni berilganda Eyler koordinatalaridan Lagranj koordinatalarga o’tish oddiy differensial tenglamalar sistemasini integrallash bilan bog’liq.
Yuqorida bayon qilinganlardan ko’rinib to’ribdiki tutash muhitning harakatini o’rganishda Lagranj va Eyler nuqtai nazarlari mexanik ma’noda bir-biriga ekvivalentdir.
Mavzuga oid namunaviy masalalar
masala. Tutash muhitning harakati Lagranj ko’rinishida quyidagicha berilgan:
(a)
x1 1,
x2 2 A3,
x3 3 A2 .
(b)
x1 1
(e2 1),
x2 2
(e2 e2 ),
x e2
3
3
3
3
Harakatni Eyler o’zgaruvchilari orqali ifodalang.
Yechish: Ma’lumki Lagranj va Eyler o’zgaruvchilari orasida bir qiymatli moslik bajarilishi uchun
shart bajarilishi zarur va etarli,
J o’tish yakobianini hisoblaymiz
x1
1
J x2
1
x3
1
x1
2
x2
2
x3
2
x1
3
x2 0
3
x3
3
1
J 0
1
0 0
1 0 1 A2 0 ,
A 1
bundan A 1 bo’lganda o’zaro bir qiymatli moslik o’rnatiladi. Eyler o’zgaruvchilarida harakat
quyidagicha aniqlanadi
x1 1,
1 x1 ,
1 x1,
x
A , x
A
,
2 1 x1 ,
2 2
3 2 2
3 x2 2 A3 A 2,
1 Ax
x ,
x
3 3
A2 ,
3 x3 A2 ,
3 x3
A2,
2
A2 1 3 2
A
3 x3
A2 1
Ax3 x2
Bu holda ham
J 0
o’tish yakobiani noldan farqli bo’ladi. Eyler o’zgaruvchilarida harakat
quyidagicha aniqlanadi
Dostları ilə paylaş: |