Ma’ruza. Tutash muhitlar mexanikasining predmeti, asosiy

Dekart koordinatalari sistemasida bazis vektorlari. Vektorning komponentalarini almashtirish.

Koordinat chiziqlari o’zaro perpendikulyar bo’lgan koordinatalar sistemasi ortogonal


→
koordinatalar sistemasi deyiladi. Umuman vektorning ortogonal sistemasi deb shunday x _
^ vektorlar


to’plamiga aytiladiki, bu to’plamning ixtiyoriy vektorlari orasidagi skalyar ko’paytma nolga teng bo’lishi kerak, ya’ni
x_ x _   0,    .


→ →

Agar bu to’plamga kiruvchi har bir vektorning normasi birga teng bo’lsa, bunday sistema

ortonormal sistema deyiladi.
Agar vektorlarning ortogonal sistemasida unga kiruvchi vektorning hammasiga ortogonal bo’lgan vektor topilmasa, bunday sistema to’liq ortogonal sistema deyiladi.
^{Uch o’lchovli YYevklid fazosidagi Dekart koordinatalari sistemasi o’qlarini x}1^{, x}2^{, x}3 ^{lar bilan,}

ularning ortonormal bazisini esa э_i
(i =1, 2, 3) lar bilan belgilaymiz. U holda ta’rifga ko’ra

э

 _j

э_i
^{bu yerda }ij ^{- Kroneker simvoli.}
→ → _{ } ij
^1,



_0,
agar agar
i  j
i  j
bo' lsa; bo' lsa,

(4.1)

→

→

→
Ma’lumki, ixtiyoriy ^ vektori э_i ( ⁱ =1, 2, 3) bazis vektori orqali quyidagi

^→  
→
1^э1
  ₂ э₂
 ₃э₃



 _
i 1
_i э_i

yiq’indi ko’rinishda ifodalanadi, bu yerda
_i ( i =1, 2, 3) vektorning tuzuvchilari (komponentalari).

Yozuvning qulayligi uchun oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi yig’indi belgisi () ni tashlab yuborib,
tenglik quyidagicha yoziladi _{→ →}

a  а_iэ_i ,
(i  1, 2, 3).
(4.2)

→

→

→

→

→
Ushbu ifodadagi yig’indi hisoblanuvchi va ikki marta takrorlanuvchi i-indeksi «gung» indeks deb ataladi («gapirmasa ham yig’ndi olish kerakligini aytadi»). Fazo uch o’lchovli bo’lganda gung indeks 1, 2, 3 qiymatlarning har uchalasini ham qabul qiladi. Gung indeksni har qanday i, j, k, ….. harflari bilan belgilash mumkin, masalan

^→  
→
i ^эi
  _j э _j
 _k э_k
 ₁э₁
 ₂э₂
 ₃э₃ .

→
Indeksning gung yoki gung emasligini aniqlash uchun uning takrorlanishiga etiborni qaratish kerak. Agar indeks takrorlanmasa u «erkin» indeks deb yuritiladi. Misol uchun

yozuvida i-erkin, j-esa gung indeksdir.
^ij ^э j
 b_i

Ortonormal bazisi
^э_i ^{(i =1, 2, 3) bo’lgan eski x}1 ^x2 ^x3 ^{Dekart koordinatalari sistemasi o’qlariga}

'

^→' _i ' '

nisbatan biror burchakka burilgan va ortonormal bazisi
^э_i ( =1, 2, 3) bo’lgan yangi x ₁ x ₂ x ₃
Dekart

x

i
^{koordinatalari sistemasini qaraymiz. Yangi ' va eski x}j ^{o’qlari orasidagi burchak kosinusini }ij ^deb
→_'

^{belgilaymiz. U holda } ij ^{yangi э}_i ^{va eski э} _j
ya’ni
bazis vektorlarning skalyar ko’paytmasiga teng bo’ladi,

→_' →
э_i  э _j
^→' ^→
 _ij
(4.3)

^{Kiritilgan }ij ^{kattalik э}_i ^{birlik vektorining}
→
э _j birlik vektori yo’nalishiga tushirilgan
→_'

^{proyeksiyasiga teng, va aksincha, }ji ^{kattalik э j}
birlik vektorining э_i birlik vektori yo’nalishiga

э _j
tushirilgan proyeksiyasiga teng, hamda yoyilmasi
^ij ^{ } ji
bo’lganligi uchun
→_'
э_i birlik vektorining
^→ bazisdagi

→_' → → → →

э_i  _i1э₁  _{i 2} э₂  _i3 э₃  _ij э _j
→_'
(4.4)

kabi va э _j
birlik vektorining yangi э_i bazisdagi yoyilmasi

→ →_' →_' →_' →_'

э_j   _j1э₁   _{j 2} э₂   _j3 э₃  _ij э_i
(4.5)

kabi bo’ladi. Ushbu ifodada j indeks erkin, i indeks esa gungdir, (4.4) ifodada teskarisi, yani i -erkin, j- gung indeksdir.
^{Eski bazisdan yangi bazisga o’tish formulasi (4.4) dagi }ij ^{koeffisiyentlar o’tish matrisasini tashkil} qiladilar. O’tish matrisasi ortogonal matrisadir, chunki
1) _ij ^T _ij  E; 2) _ij _ij ^T  E; 3) _ij ^T _ij ^1,

ij
bu yerda 
^T ^{-transponirlangan, [}ij^{]-1 –teskari va E-matrisaning elementlari
}ik^jk^=ij ^{va }ki^kj^=ij

shartlarni qanoatlantiradi, hamda uning determinanti 1 ga teng, ya’ni

→_{' →}
^ij
 1,

bu yerdagi musbat ishora agar
holda manfiy ishora olinadi.
э_i va э _j
bazislar bir xil o’ng yoki chap bazislar bo’lsalar qo’yiladi, aks

Endi ixtiyoriy ^а vektorining komponentalarini almashtirish formulalarini topamiz. Buning uchun
^→_' →_'

э_i va э _j
bazislardagi yoyilmalaridan foydalanamiz:

_a' _ ^→' _a ' ^→'

^a = ^{a j} э _j
va ^a =
i ^эi
demak _j э _j = ^a_i ^{ э}_i

Oxirgi tenglikda э _j
o’rniga uning (4.5) ifodasini qo’yamiz

  ^→    ^→' ^' ^→'

bundan
j ^э j j ij ^эi i ^эi

ifodaga ega bo’lamiz.
→_'
'

a

i

 
ij
 a _j
(chunki_ij
  _ji )
(4.6)

'
Aksincha, agar
э_i ning o’rniga uning (4.4) ifodasini qo’ysak

a
ifodaga ega bo’lamiz.
^a j ^{ }ij i
(4.7)

Olingan (4.6) formula eski koordinat sistemasidan yangisiga o’tishda vektor komponentalarini almashtirish qonunidir. Aksincha (4.7) formula yangi o’qlardan eskilariga o’tishda vektor komponentalarini almashtirish qonunidir.
Koordinat o’qlarini burishdan bog’liq bo’lmagan ob’ekt sifatida vektorning ta’rifini uning komponentalarini almashtirish qonunidan kelib chiqqan holda berish mumkin: Dekart koordinatalari

sisitemasida koordinat o’qlarini burganda (4.6) qonun bo’yicha almashtiriluvchi a _j
sonlar uchligi bilan

tavsiflanuvchi invariant ob’ekt vektor yoki birinchi rang tenzor deyiladi, sonlar uchligi esa uning komponentalari deyiladi..

2. 
   Egri chiziqli koordinatalarni almashtirish.
   

Yuqorida biz Dekart koordinatalar sistemasida koordinatalarni almashtirish bilan tanishdik. Endi ixtiyoriy ikkita ¹, ², ³ va ¹, ², ³ koordinat sistemalari (egri chiziqli) koordinatalarini almashtirish masalasini qaraymiz. Faraz qilaylik bu ikki sistema o’rasida uzluksiz, o’zaro bir qiymatli moslik
^{ i   i} ( ¹, ², ³), ( ⁱ =1, 2, 3) (4.8)
mavjud bo’lsin. Bu funksiya (moslik)ni ¹, ², ³ lar boyicha defferensiallaymiz

d ⁱ 
 ⁱ
¹
d¹ 
 ⁱ
 ²
d ² 
 ⁱ
 ³
d ³ .

(4.9)

yuqorida indekslarga doir keltirilgan mulohazalarga asosan (4.9) ni

d ⁱ
_  ⁱ
 ^j
d ^j ,


(i , j
 1,2,3)

(4.10)

ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda j-gung indeks. Agar
_i  ⁱ

a _j  _{ j} ,
(i, j  1, 2, 3)
(4.11)

deb belgilab olsak (4.9) ifodaga ko’ra

i

a
_j miqdorlar uchinchi tartibli matrisani tashkil etishlarini ko’ramiz

 ^1

^3  ^2

^3  ^3

^3

 ¹

a

a

a
1 1 1

i
1 3 3

a

a

a

a

1

2 3


_{A  j } 2 2 2

a

a

a
3 3 3
1 2 3

 ²

 ^{2 .}

 ²

 ³

 ²

O’zaro bir qiymatlilik shartidan bu matrisaning determinanti noldan farqli ekanligi kelib chiqadi, ya’ni

j
  aⁱ  0 (i, j  1, 2,3)
u holda (4.9) sistemani dⁱ larga nisbatan yechsak quyidagi munosabatni olamiz

dⁱ
_ ⁱ
d ^j ,


(i , j
 1,2,3)

(4.12)

Quyidagicha belgilash kiritamiz

 ^j


i
ⁱ

b _j 
 ^j
(4.13)

j
U holda (4.12) ifodaning koeffisiyentlaridan tuzilgan B= ^{b i}
matrisaga ega bo’lamiz. A va B matrisalar

to’g’ri va teskari almashtirishlarning o’tish matrisalari deyiladi. Bu matrisalar o’zaro teskari matrisalardir. Haqiqatan, (4.11) va (4.13) ifodalarga asosan

i ^j i i
^1,
agari  k bo'lsa

А В  а _j b_k  a _j  b_j 
 _
0,
agar i  k bo'lsa.

chunki ¹, ², ³ lar o’zaro bog’lanmagan koordinatalardir. Demak,

bu yerda


A  B 
1 0 0

i

0

1

0




_k  E
0 0 1

(4.14)




_i ^1,
k ^
_0,
agar i agar i
 k bo' lsa;
 k bo' lsa,

ya’ni yuqorida ko’rilgan Kroneker simvoli. Oxirgi (4.14) tenglik A va B matrisalarning o’zaro teskari matrisalar ekanligini ko’rsatadi. U holda B matrisaning determinanti

formula bilan topiladi.

_{i } 1 _ 1

b
j _

Endi egri chiziqli koordinatalar sistemasida bazis vektorlarini kiritish zaruriyati paydo bo’ladi.
Buning uchun boshi biror M nuqtada bo’lgan ¹, ², ³ koordinatalar sistemasini olamiz va uning M (0, 0

(d , d , d ) nuqtalarini bog’lovchi

dr

,0) hamda

 MM

ob’yektni (4.1.- chizmada strelka bilan
_{M '} 1 2 3 ^→
ko’rsatilgan) qaraymiz.
Shundan keyin M nuqtadan koordinat chiziqlarni o’tkazamiz va ularda faqat d¹, d², d^{3 koordinat orttirmalaridan biri bilangina aniqlanadigan N}1^{, N}2 ^{va N}3 ^{nuqtalarni belgilaymiz.}
Quyidagi geometrik

r _ →
(4.15)

ob’yektlarni bazis vektorlari deb ataymiz.
 ⁱ
э_i ,(i
 1,2,3)

Ko’rinib turibdiki bunday bazis vektorlari koordinat chiziqlarining urinmalari bo’ylab yo’naladilar (4.1-chizma) . Umuman olganda d ^r ixtiyoriy yo’nalgandir, lekin har qanday holda ham (4.15) ga ko’ra

э₁

э₂

э₃
d ^r ni

yoki
dr  d ^{1 →}  d ^{2 →}
 d ^{3 →}
(4.16)

э_i
dr  d ^{i →}
ko’rinishda yozish mumkinkin. (Ushbuni Dekart koordinatalari sisitemasidagi ifodasi (4.2) bilan
solishtiring). Bu yerdagi d ⁱ lar dr ning komponentalari deyiladi. _→

→
э_{3 →}
Bazis vektorilari ^э_i
larning ¹, ², ³

_3


^N3 _N2
э₂
M ^d ¹, d ² , d ³ 
_2
koordinat sistemasidagi koordinatalari mos ravishda (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) lardan iborat. Shu bazis vektorlarning ¹, ², ³ koordinat sistemasidan farqli, boshqa koordinatalar sistemasidagi koordinatalari albatta boshqacha bo’ladi. Biror ¹,
→ 

→ ^{2, 3 koordinat sistemasidagi bazis vektorlarini эi}

M(0, 0, 0) _N1
э₁
lar bilan belgilaymiz. U holda qaralayotgan ob’yekt
_¹ uchun

_ '

r

э_i
d ^→  d^{i →}

formulaga ega bo’lamiz. Ta’rifga ko’ra bu yerda

' _
^→ r


^эi ⁱ
(4.17)
(4.18)

→
Oxirgi formulani quyidagicha o’zgartiramiz:

→_'


→
э  ^r 

r _  ^j

 ^→  a ^j

yoki
ⁱ ⁱ
 ^j


ⁱ
→_'
э_i
^эi i



→
 a_i^j э_j
(4.19)

Endi dⁱ komponentalar uchun (4.12) va (4.13) ifodalarga ko’ra

dⁱ
 b ⁱ d ^j
(4.20)

j
Oxirgi (4.19) va (4.20) formulalardan foydalanib dr ning koordinatalar sistemasini almashtirishga
nisbatan invariantligini isbotlash qiyin emas. Haqiqatan (4.17) dan
^→ i ^→' i i s ^→' s i j ^→' j ^→
dr  d э_i  b_jd  a_i э_s  a_i b_jd э_s  d э _j

chunki (4.11) va (4.13) larga ko’ra

а^s  bⁱ   ^s  ^1,
j  s

i j j

_0,
j  s

э_i
Koordinatalar sistemalari almashtirilganda xuddi ^→'
bazislariga o’xshash (4.19) formula bilan

almashtiriluvchi kattaliklar kovariant kattaliklar, (4.20) formulalar bilan almashtiriluvchi kattaliklar
kontravariant kattaliklar deyiladi.