Mavzu: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bog`lanish. Reja

Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar
orasidagi bog’liqlik

Teorema. L=AB (I) tenglamalar bilan berilgan silliq egri chiziq, bo’lsin funktsiyalar AB chiziqda uzluksiz, birlik vektor AB chiziqga uning M(x,y) nuqtasida o’tkazilgan urunma vektor bo’lib, yo’nalishi A dan B ga qarab bo’lsin, burchak M(x,y) nuqtada vektor bilan Ox o’qi orasidagi burchak bo’lsin. U holda

(6)
tenglik o’rinlidir, bunda
Izoh: Fazoviy egri chiziq esa


8-chizma
bo’ladi, bu yerda va bo’lib vektor bilan mos ravishda Ox, Oy va Oz o’qlari orasidagi burchaklardir.
Ikkinchi tur egri chiziqli integralning fizikaga tadbiqi
Massasi birga teng moddiy nuqtaning A dan B ga qarab ko’chirishda, kuchning bajargan ishini A desak, u vaqtda ma’lumki bo’ladi.
4.2 vektor M(x,y) nuqtadan oqib o’tuvchi suyuqlik tezligi bo’lsin.
U holda, birlik vaqt ichida G sohadan oqib o’tuvchi suyuqlik miqdori
bo’ladi, bu yerda vektor M(x,y) nuqtada L chiziqga o’tkazilgan tashqi normal vektorning birlik vektoridir.
Agar bo’lib, urunma vektorning L da yo’nalishi musbat yo’nalish bilan mos tushsa, u holda

bo’lib,
bo’lib,
5. Endi ikkinchi tur egri chiziqli integrallarni hisoblashga
oid misollar qaraymiz
1-misol. ikkinchi tur egri chiziqli integralni A(0,0) va B(1;1) nuqtalarni 9-chizma
tutashtiruvchi quyidagi 3 ta chiziq bo’yicha hisoblang


1) AB chiziq y=x tenglama bilan berilgan bo’lsin, u holda y’=1 va (5) formuladan foydalanamiz.
bo’lgani uchun

2) AB chiziq y=x² tenglama bilan berilgan bo’lsin (5) formulaga asosan,

3) ACD- siniq chiziq bo’yicha integralni hisoblash uchun, integralni AC va CB lar bo’yicha olingan integrallar yig’indisi shaklida ifodalaymiz.
AC chiziqda y=0 va y’=0, bo’lgani uchun

СB chiziqda shuning uchun

Demak:
Shunday qilib I₁=I₂=I₃=1 ekanligini ko’rdik.Bu esa egri chiziqli integraning integrallash yo’liga bo’g’liq emasligini ko’rsatadi.
2-misol. Agar va nuqtalarni tutiruvchi chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsa ikkinchi tur egri chiziqli integralni hisoblang. Berilgan integralni (5) formula formula yordamida
10-chizma hisoblaymiz

Bu yerda o’zgaruvchi x, +1 dan -1 gacha o’zgaradi va uning uchun