Mavzu: Birinchi va ikkinchi tur egri chiziqli integrallar orasidagi bog`lanish. Reja

3-misol. tenglama bilan berilgan L- chiziq bo’yicha olingan integralni hisoblang.
Berilgan tenglama bilan aylana aniqlanadi, uning parametrik tenglamalari ko’rinishga ega.
Integralni (4) formula yordamida hisoblaylik.
bo’lgani uchun




4-misol. tenglamalar bilan berilgan L-chiziq bo’yicha.
integralni o’sish yo’nalishi bo’yicha hisoblang.
Berilgan integralni (4) formula yordamida hisoblaylik,
bo’lgani uchun


5-misol sferani I oktantda joylashgan qismi chegarasi bo’lgan L yopiq chiziq bo’yicha olingan

integralni hisoblang. Oxy tekislikda yo’nalish A(I; 0; 0) nuqtadan B (0; I; 0) nuqtaga qarabdir.
bo’lib, chiziqlar mos ravishda Oxy, Oyz va Oxz tekisliklarda yotuvchi birlik aylana bo’laklaridir.
Shuning uchun I=I₁+I₂+I₃ deb olsak, u vaqtda
bo’ladi.
11-chizma I₁ integralni hisoblashda ni Oxy tekislikda yotishini hisobga olsak,
z=0 va dz=0 bo’ladi hamda
bo’ladi.
chiziq bo’lib, uning parametrik tenglamalari esa ko’rinishga ega. Demak (4) formulaga asosan



Bu yerda geometrik jihatdan ekanini hisobga oldik. I₂ va I₃ integrallar ham shunga o’xshash hisoblanadi va bo’ladi
Demak, bo’lar ekan
fazoda tenglama bilan aniqlangan sirtni qaraylik. Bunda funksiya chegarasi bo’lakli-silliq chiziqdan iberat bo'lgan sahada berilgan, uziuksiz xususiy hosilalarga ega hamda bu hosilalar ham uzluksiz. Odatda bụnday sirtni silliq sirt deyiladi. Silliq sirt har bir nuqtasida urinma tekislikka ega bo'ladi.
Endi sit uning chegarasi bilan kesishmaydigan yopiq chiziqni olaylik. nugtasitning yopiq chiziq bilan chegaralangan qismga tegishli bo’lsin. Bu chiziqni tekisligiga proeksiyalaymiz. Natijada tekislikda ham yopiq chiziq hosil bo’ladi. Tekislikdagi yopiq chiziqning musbat va manfiy yo'nalishlari kiritilgan. sirtdagi yopiq chiziq chizig'ining musbut va manfiy yo'nalishlari ham shutarzda kiritiladi. Shuni ham aytish kerakki, yo'nalishning musbat yoki manfiyligini aniqlash xarakatlanayotgan nuqtaga qaytomondan qarashga ham bog'liq.
Sirtning nuqtadagi urinma tekislikka shu nuqtada perpendikulyar o'tkazaylik Bu perpendikulyarning musbat yo'nalishi deb shunday yo'nalish olamizki. uningomonidanqaralgandaikkala ( hamda ) yopiq chiziqning yo'nalishlari musbat bo'ladi. Uning manfiy yo'nalishi esa shunday yo'nalishki, u tomondan qaralganda ningmusbat yo'nalishiga ning manfiy yo'nalishi mos keladi. Perpendikulyarnin gmusbat yo'nalishi bo'yicha olingan birlik kesma sirtning nuqtadagi normali deyiladi.
Normalning , va o'qlarining musbat yo'nalishlari bilan tashkil qilingan burchaklarini mos ravishda. orqali belgilasak.
(1)
bo’ladi va ular normalning yo'ladiuvchi kosinuslari deyiladi.

Isbotlash mumkinki, silliq sirtning barcha nuqtalaridagi perpendikulyarlarning musbat yo'nalishlari (normallari) bir xil bo'ladi. Demak, manfiy yo'nalishiari ham. Shunga ko'ra, sirtning ikki tomoni haqida tushuncha kiritiladi.

Sirtning ustki tomeni deb, uning shunday tomoni olinadiki, butomondan qaralganda ikkala ( hamda ) yopiq chiziqlarning yo'nalishlari musbat bo'ladi.
Sintning ustki tomoni qaralganda bilan chegaralangan tekislikning yuzi musbat ishora bilan. Pastki tomani (ikkinchi tomoni) qaralganda manfiy ishora bilan olinadi. Ikkinchi tur sirt integrali tushunchasini bayon etishdan avval sirt tomonlari, ikki tomonli sirt tushunchalarini keltiramiz. Faraz qilaylik, fazoda biror sirt berilgan bo‘lsin. Ravshanki, bu sirtning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud bo‘lib, urinish nuqtasi sirt bo‘lib uzluksiz o‘zgara borsa, mos urinma tekislik ham (uning normali ham ) o‘z holatini uzluksiz o‘zgartira boradi .
sirtda biror nuqtani olaylik. Bu nuqta orqali o‘tkazilgan sirt normali ikki yo‘nalishga ega bo‘lib, ulardan birini tayinlaymiz. So‘ng nuqtadan chiqib, shu nuqtaga qaytadigan yopiq chiziqni (konturni) qaraymizki, u sirtga tegishli bo‘lsin va sirtning chegarasini kesmasin.
nuqtada sirt normalini malum yo‘nalish, olinganligini e’tiborga olib, o‘zgaruvchi nuqtani dan boshlab, kontur bo‘yicha xarakatlantirib yana nuqtaga qaytganda (bu xolda nuqta kontor bo‘ylab o‘zgarganda mos nuqtadagi sirt normali xam o‘zgarib boradi) ikki xol sodir bo‘ladi:

1. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi shu nuqtaga qaytib kelganda qarama-qarshisiga o‘zgaradi;
   
2. 
   nuqtadagi sirt normalining yo‘nalishi qaytib shu nuqtaga kelganda ham o‘zgarmaydi.
   

Birinchi holda sirt bir tomonli sirt deyiladi, ikkinchi holda esa sirt ikki tomonli sirt deyiladi.
_Masalan:
tenglama bilan aniqlanadigan sirt (giperboloid 1 – chizma),
1 – chizma
Ikki tomonli sirt bo‘ladi. Bu sirt yuqori va quyi (ustki va ostki) tomonlarga ega. Shuningdek tenglama bilan aniqlanadigan sirt (markazi (0,0,0) nuqtada, radiusi 1 ga teng sfera) ham ikki tomonli sirt bo‘lib, uning tashqi va ichki tomonlari bo‘ladi. Biz ikki tomonli sirtlarni qaraymiz.
Aytaylik, fazoda sirt tenglama bilan aniqlangan bo‘lib, bunda funksiya tekisligidagi da uzluksiz hamda uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. ( to‘plam sirtning tekisligidagi proyeksiyasi).Bu ikki tomonli sirt bo‘lib, uning har bir nuqtasida urinma tekislik mavjud. sirtda, uning chegarasi bilan kesishmaydigan yopiq chiziqni olaylik. Bu yopiq chiziqning tekisligidagi proyeksiyasi bo‘lsin.Agar nuqta sirtning yopiq chiziq bilan chegaralangan qismiga tegishli bo‘lib, bu nuqtadagi sirt normali o‘q bilan o‘tkir burchak tashkil etsa (bunda sirtning ustki tomoni qaralayotgan bo‘ladi) va yopiq chiziqlarning yo‘nalishlari musbat bo‘lib, bilan chegaralangan shaklning yuzi musbat ishora bilan olinadi.

Agar nuqtadagi sirt normali o‘q bilan o‘tmas burchak tashkil etsa (bunda sirtning ostki tomoni qaralayotgan bo‘ladi) ning manfiy yo‘nalishiga ning musbat yo‘nalishi mos kelib, bilan chegaralangan shaklning yuzi manfiy ishora bilan olinadi.

Aytaylik, yuqorida aytilgan tenglama bilan aniqlangan sirtda (sirt nuqtalari to‘plamida) funksiya aniqlangan bo‘lsin. Bu sirtning ikki tomonidan birini tanlaymiz.
sirtni undagi chiziqlar yordamida ta

bo‘laklarga ajratamiz. Bu sirt bo‘lakchasi ning tekisligidagi proyeksiyasi ning yuzini deylik.
Har bir da ixtiyoriy nuqta olib, bu nuqtadagi funksiyaning qiymati ni ga ko‘paytirib quyidagi
(1*)
yig‘indini tuzamiz. Uni integral yig‘indi deyiladi.
Agar da yig‘indi chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit funksiyaning sirtning tanlangan tomoni bo‘yicha ikkinchi tur sirt integrali deyiladi va
(2*)

kabi belgilanadi. Demak,

(3*)
Eslatma. Yuqoridagi (3*) integral qaralganda har gal sirtning qaysi tomoni olinganligi aytib boriladi.
funksiyaning sirtning bir tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali, funksiyaning shu sirtning ikkinchi tomoni bo‘yicha olingan ikkinchi tur sirt integralidan faqat ishorasi bilangina farq qiladi.
Yuqoridagidek, ushbu

ikkinchi tur sirt integrallari ta’riflanadi.
Umumiy holda, sirtda , va funksiyalar berilgan bo‘lib, ushbu

integrallar mavjud bo‘lsa, u holda

yig‘indi ikkinchi tur sirt integralning umumiy ko‘rinishi deyiladi va u
(4*)
kabi belgilanadi. Demak,