Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Matrisin ranqı və hesablanması üsulları.

Elementləri P meydanından olan m x n ölçülü

A =
matrisinə həm n ölçülü sətir vektorları sistemi, həm də m ölçülü sütun vektorları sistemi kimi baxmaq olar.

Tərif sətirlər sisteminin ranqına A matrisinin ranqı deyilir.

Bu tərifi verərkən yadımıza salaq ki, sətirlər sisteminin bazisi onun elə xətti asılı olmayan alt sisteminə deyilir ki, -nin bütün vektorları bu alt sistemin xətti kombinasiyası olsun.

Analoji tərifi sütunlar sisteminin ranqı vasitəsilə də vermək olar, çünki matrisin sətirlər sisteminin ranqı sütunlar sisteminin ranqına bərabərdir.

sətirlər sisteminin elementar çevirmələrini matrisin elementar çevirmələri adlandıraq. Buna əsasən matrisin elementar çevirmələrinə aşağıdakı kimi tərif verə bilərik.

Tərif Matrisin elementar çevirmələri onun sətirləri üzərində aparılan aşağıdakı əməliyyatlara deyilir:

1. Matrisin hər hansı sətrini 0 skalyarına vurmaq.

2. Matrisin hər hansı sətrini skalyarına vurub digər sətrin üzərinə əlavə etmək.

3. Sıfır sətri matrisə əlavə etmək və ya atmaq.

Analoji qayda ilə matrisin sütunlar sisteminin də elementar çevirmələrinə tərif verə bilərik.

Vektorlar sisteminə analoji olaraq söyləyə bilərik ki, matrisin sətirləri (sütunları) üzərində aparılan elementar çevirmələr matrisin ranqını dəyişmir.

Aşağıdakı teoremi isbatsız qəbul edək:

Teorem. İxtiyari matrisin sətuiləri sisteminin ranqı onun sütunlar sisteminin ranqına bərabərdir.

Tərif Matrisin sətrindəki ilk sıfırdan fərqli elementə bu sətrin həlledici elementi deyilir.

Tərif . m x n ölçülü A matrisinin pilləli şəkli onun sətirləri üzərində aparılan elementar çevirmələr nəticəsində alınan elə m x n ölçülü matrisə deyilir ki, aşağıdakı şərtlər ödənsin:

1. İkinci sətirdən başlayaraq hər bir 1-ci sətrin aparıcı elementi -ci sətrin aparıcı elementinə nisbətən sağda yerləşsin, yəni həlledici elementlərdirsə, olsun.

2. Bütün sıfır sətirlər sıfırdan fərqli sətirlərdən aşağıda yerləşsin.

Aydındır ki, A matrisinin ranqı onun pilləli şəklinin ranqına bərabərdir. Pillə matrisin ranqı isə onun sıfırdan fərqli sətirlərinin sayına bərabərdir.

Deməli praktikada matrisin ranqını hesablamaq üçün onun sətirləri üzərində elementar çevirmələr aparıb onu pilləli şəklə gətirmək və sonuncunun sıfırdan fərqli sətirlərinin sayını tapmaq lazımdır.

Məsələn,

A =

matrisinin pilləli şəklini tapaq:

A

Deməli, ranq A = 2.

Teorem. Matrisin sətirlər sisteminin ranqı onun sütunlar sisteminin ranqına bərabərdir.

İsbatı:

A =

m x n ölçülü matrisinə baxaq. Onun sətirlər sisteminin ranqını r, sütunlar sisteminin ranqını P ilə işarə edək. A-nın sətirləri üzərində elementar çevirmələr aparıb onu aşağıdakı kimi pilləli şəklə salaq:
=
matrisinin sütunları r ölçülü hesabi vektorlar olduğundan, onun sütun ranqı ədədi r-i aşa bilməz, yəni .

Analoji qayda ilə transpinərəsinə baxıb -nin sətirləri, yəni A-nın sütunları arasında elementar çevirmələr aparıb yenə pilləli matris alarıq. Nəticədə hər biri ölçülü olan -nin sütun, yəni -nın sətir vektorlarını alarıq ki, bunların da ranqı -nu aşa bilməz, yəni olar. Buradan alarıq.