Mühazirə-4 Mövzu: Matris anlayışı. Matrislər üzərində əməllər plan: I matris və onun növləri

Xətti tənliklər sistemi və onun Qauss üsulu ilə həlli.

Əmsallar hər hansı P meydanından olan

= b₁,

= b₂, (1)

----------------------------------------

= b_m.
şəklində bərabərliklər sisteminə n məchullu m sayda tənliklər sistemi deyilir.

Burada – məchullar, ( ) əmsallar, isə sərbəst hədlər adlanırlar. (1) sistemində sərbəst hədlərin hamısı sıfıra bərabər oldiqda alınan

= 0

= 0 (2)

----------------------------------------

= 0
sisteminə (1) sisteminə uyğun bircins sistem deyilir.

Tərif . (1) sisteminin həlli elə nizamlanmış a = ) n-liyinə deyilir ki, onun hər bir koordinatı (1) sisteminin uyğun məchulunun yerində yazdıqda (1) sistemi doğru bərabərliklər sisteminə çevrilsin.

Tərif . Xətti tənliklər sisteminin həlli varsa, ona birgə, yaxud uyuşan, heç bir həlli yoxdursa, ona birgə olmayan, yaxud da uyuşmayan sistem deyilir.

Tərif . Xətti tənliklər sisteminin yeganə həlli varsa, ona müəyyən, ən azı iki həlli varsa, ona qeyri-müəyyən sistem deyilir.

Fərz edək ki, (1) sistemi ilə yanaşı

= d₁,

= d₂, (2)

----------------------------------------

= d_k
xətti tənliklər sistemi də verilmişdir.

Tərif . (1) sisteminin hər bir həlli (3) sisteminin də həllidirsə, (3) sisteminə (1) sisteminin nəticəsi deyilir.

Aydındır ki, (1) sisteminin hər bir alt sistemi (yəni m-dən çox olmayan istənilən sayda tənliyindən ibarət sistem) (1) sisteminin nəticəsidir.

Tərif . İki xətti tənliklər sistemindən hər biri digər sistemin nəticəsidirsə, belə sistemlərə eynigüclü sistemlər, yaxud da ekvivalent sistemlər deyilir.

Aydındır ki, P meydanı üzərində xətti tənliklər sistemləri çoxluğunda eynigüclülük münasibəti ekvivalentlik münasibətidir.

Aşağıdakı sadə misallara baxaq:

1) x₁ + 2x₂ = 4

3x₁ + x₂ = 7

sisteminin (2,1) həlli yeganə olduğundan bu sistem müəyyəndir.

2) 2x₁ – 6x₂ = 4

-x₁+3x₂ = 2

sisteminin həllərinin sayı birdən çox olduğuna görə sistem qeyri-müəyyəndir.

3) 2x₁-6x₂ = 4

-x₁ + 3x₂ = 3

sisteminin heç bir həlli olmadığına görə birgə olmayandır.

Xətti tənliklər sisteminin elementar çevirmələri onlar üzərində aparılan aşağıdakı əməliyyatlara deyilir.

1) Sistemin hər hansı tənliyinin hər iki tərəfini sıfırdan fərqli skalyarına vurmaq.

2) Sistemin hər hansı tənliyini skalyarına vurub digər tənliyin üzərinə əlavə etmək.

3) 0 = 0 (yəni 0x₁ + 0x₂+... + x_n = 0) şəklində trivial tənliyi sistemə əlavə etmək və ya ondan atmaq.

Teorem. Verilmiş xətti tənliklər sistemi üzərində aparılan elementar çevirmələrin sonlu ardıcıllığı nəticəsində bu sistemlə eynigüclü sistem alınır.

İsbatı. 1) və 3) çevirməsi nəticəsində alınan sistemin əvvəlkinə ekvivalent olması aydındır.

2) çevirməsi üçün hökmün doğruluğunu yoxlayaq.

Fərz edək ki

= b₁

= b₂ (1)

----------------------------------------

= b_m.
sisteminin, məsələn, 1-ci tənliyini skalyarına vurub 2-ci tənliyin üzərinə əlavə etmişik. Onda 2-cidən başqa bütün tənliklər olduğu kimi qalar, ikinci tənlik isə

( ) = + şəklinə düşər. Bu bərabərliyi

( ) + ( ) = 0 (2) alınar.

Əgər a = ( ) (1) sisteminin həlli olarsa, onda

( ) + ( ) = 0 (3) olar. Tərsinə, əgər a vektoru (3) bərabərliyini ödəyərsə, (1) sisteminin 1-ci tənliyini ödədiyinə görə (3)-ün 2-ci toplananı sıfra çevrilər, onda alınar. Yəni a vektoru (1) sisteminin 2-ci tənliyini də ödəyər.
= b₁

= b₂

= b₃ (1)

----------------------------------------

= b_m.
xətti tənliklər sisteminə baxaq. Ümumiliyi pozmadan qəbul edək. olsa, 1-ci tənlikdə sıfırdan fərqli əmsalı sıfırdan fərqli olan və bununla yanaşı bütün tənliklərdə -ci toplananları 1-ci yerdə yaza bilərik.

Indi (1)-in 1-ci bərabərliyini - -ə vurub 2-ci bərabərliyin, - -ə vurub 3-cü bərabərliyin və nəhayət

- - ə vurub m-ci bərabərliyə əlavə edək. Onda 1-ci tənlikdən başqa bütün tənliklərdə x₁ məchulu iştirak etməyəcəkdir və sistem aşağıdakı şəklə düşəcəkdir:
= b₁

=

---------------------------------------------

=
İndi ümumiliyi pozmadan qəbul edək, 1-ci və 2-ci tənlikləri olduğu kimi saxlamaqla, 2-ci tənliyin köməyilə 3-cü ..., m-ci tənliklərdə x₂ məchulunu aradan çıxararıq.

Bu prosesi o vaxta qədər davam etdirərək ki, müəyyən r nömrəsindən sonra axırıncı m-r sayda tənlikdə bütün əmsallar sıfıra çevrilsin.

Yəni sistem aşağıdakı şəklə düşsün:

= C₁

= C₂

-----------------------------------------

= C_r (2)

0 = C_r+1

-----------------------------------------

0 = Cm

(2) sisteminə (1) sisteminin pilləli şəkli deyilir. Bu sistem üçün aşağıdakı 3 haldan biri və ancaq biri doğrudur:

1) C_r+1, ..., C_m sərbəst hədlərindən heç olmasa biri sıfırdan fərqlidir. Bu ziddiyyət göstərir ki, sistem uyuşmayandır.

2) r = n olsa və C_r+1=...=C_m = 0 olarsa, sistem üçbucaq şəklində olar və bu zaman sistem müəyyən olar.

3) r olsa sistem trapes şəklində olar. Bu zaman x₁, x₂, ..., x_r məchullarını baş məchullar, x_r+1, ..., x_n məchullarını isə sərbəst məchullar adlandırıb, onların durduğu hədləri sağ tərəfə keçirib bu məchullar

x _r+1 = C _r+1, ..., X_n = C_n ixtiyari skalyar qiymətlər verməklə x₁, x₂, ..., x_n məchullarının da qiymətlərini taparıq. Bu halda sistem qeyri-müəyyən olar