Nazariy fizika kursi

=
(6grad)a - (agrad)b + adiv b 
-
fediv 
a, 
(A.100)
grad(ab) =
(6grad)a + (agrad)b + [brot a] +  [arot 6], 
(A.101)
grad 
a2 
= 2(agrad)a+ 2[arot a], 
(A.102)
rot('0a) = ф rot 
a 
+ [agrad ]. 
(A.103)
(V, a)b =
bdiv a +  (agrad a). 
(A.104) 
д 
д 
d
Bu yerda (agrad) = (aV) = ax'fa +av'g^+az ~
q
~
z
skalyar differensial operator. 
Maydonlardan ikkinchi tartibli hosilalar:
rot grad ф =  0, 
(A. 105)
div rot a = 0, 
(A.106)
j .
,
. 
/ d2 
d2 
d2 \
div grad ф 
= ^ _ + _
+ — jV - = A ^
(A.107)
rot rot a 
= grad div a -  Да. 
(A.108)
A .3 Egri chiziqli koodinatalar
Ko‘p hollarda vektor va vektor operatsiyalarning dekart koordinatalar- 
dagi tasavvurlari bilan bir qatorda sferik va silindrik koordinatalardagi ta- 
savvurlaridan foydalanamiz. Bu koordinata sistemalari dekart koordinata 
sistemasi singari ortogonaldir. Quyida egri chiziqli koordinatalarda vektor 
operatsiyalardan ba’zilarini keltiramiz:
A .3.1 Sferik koordinata sistemasi
Sferik va dekart koordinatalari orasidagi bogianish
x = r cos^sin#, 
у =  r sin ^ sin#, 
z = rcos9. 
(A.109)
Hajm elementi
dV — r2 sin 6 dr dxp d6. 
(A.110)
Nabla operatori
д 
ев д
е^ь 
d

---

, , 
дф 
eo дф 
ej, дф 
grad ф = er — +
.
(A.112)
or 
r dO 
r sm в дгр
Bu yerda er, ев va 
mos ravishda r, 9 va tp o'qlardagi birlik vektorlar 
(ortlar).
Vektor maydon divergesiyasi
d i v a ^
+ - 4 - j ^ .
(А.ПЗ)
v 
or 
rsin(9 
дв 
r sm в дф
Vektor maydon rotori
z , v 
1 
дЫтваф) 
1 
д(ав)
(rot a)r =  — — - 1—
------ (A.114)
r sm в 
дв 
r sm в дф
/ , v 
1 
даТ 
1 д(гаv,)
(rot а)в =  
------- (А.115)
г sm 0 огр 
г 
дг
( 
v 
1 9(ra^) 
1 9аг
(rot“ >* = 
r S T — r S B - 
(АЛ16>
Laplas operatori
1 a / 2 d \ 
1 
д ( . п д \ . 
1 
a2
Skalyar maydon gradienti
А 
г2 dr V д г ) + г2 sin 
[ Ыпвд в )  + г2 sin2 0 5 0 2 ' 
(Ал17)
А .3.2 Silindrik koordinata sistemasi
Silindrik va dekart koordinatalari orasidagi boglanish
x = rcos^ , 
у ^ г в т ф , 
z = z. 
(A.118)
Hajm dementi
dV = rdrdzdty. 
(A.119)
Nabla operatori
Skalyar maydon gradienti
+ 

---

Bu yerda er, e* va ег mos ravishda r, 0 va г o ‘qlardagi birlik vektorlar 
(ortlar).
Vektor maydon divergesiyasi
„ 
1 (дга*) , 1 даФ 
daz 
d , v a = r —
 
+ rSi +
« Г
(A.122)
Vektor maydon rotori
/ , ч 
1 
daz 
daф
(l0ta)r =
г~дгр ~ ~ dz' 
(A '123)
(rot a)* 
=
(A .124) 
/ , ч 
1 
д(гаф) 
1 <9ar
(rota), = - - i g j i i - . - Z .
(A .I25)
Laplas operatori
a _ 1 a / a \ 
i a2 
d2
r dr \r 0 r j
r2 dip2 + dz2 ' 
(A.126)
A .4 Furye qatori. Furye integrali
Davriylik sharti
f ( t ) = f ( t + T) = f ( t + ^
(A. 127)
ni qanoatlantiruvchi har qanday funksiyani quyidagi qatorga yoyish mumkin:
00
^ 
oo
f ( t ) =  X^(°n C0STUjjt + bn sin nut) = 
cn sin(ncjt + a n), 
(A.128) 
n=o 
n=o
yoki
OO
/(* ) = £ f neinut. 
(A.129)
71= —
OO
Bu yerda T = 2tt/w funksiyaning davri. Davriy funksiyani chastotalari ш, 2w, 
3w, 
(yoki davri T, Т/2, Т/3, ■ •
•) boigan oddiy garmonikalar yig‘indisi 
ко rinishida tasvirlash, Furye qatoriga yoyish deyiladi. пш chastotaga mos 
keluvchi had п-garmonika deyiladi. ui asosiy chastota bo'lib, unga mos kelgan 
had asosiy garmonika deyiladi.
333

---

Furye koeffitsientlari / „ quyidagi formula bilan aniqlanadi.
T
/2
fn = j , I f(t)e ~ ,uidt. 
(A .130)
-T /2
Furye koeffitsientlari umuman olganda kompleks bo'ladi. Agar f ( t) funksiya 
haqiqiy bo'lsa,
fn =  /-»■
(A.131)
Davriy funksiyani Furye qatoriga yoyishni shu funksiyani spektrga yoyish 
deb yuritiladi. Bu spektr ayrim u>, 2
oj
, 3w. • • • chastotalardan iborat bo'lgan- 
ligi uchun disbet spektr deyiladi. Har bir garmonika bitta spcktral chiziq mos 
keladi. Shu sababli diskret spektr chiziqli spektr deb ham yuritiladi. Odatda,, 
fizik kattaliklar uchun Furye qatoriga yoyish sharti bajariladi.
Davriy funksiyaning davr bo'yicha o'rtacha qiymati nolga teng bo'ladi, 
ya’ni
f{t) =  0. 
(A.132)
Bu qoidani bevosita (A.128) yoki (A.129) ni davr bo'yicha o'rtachalab qanoat 
hosil qilish mumkin. Endi f( t) funksiya kvadratining davr bo'yicha o'rtacha 
qiymatini aniqlaymiz. Buning uchun (A.129) ni kvadratga oshiramiz va vaqt 
bo'yicha bir davr ichida integrallaymiz:
T/2
f i t )2
1 
Г
- J dt 
fn fmei{,l+m)ut. 
(A .133)
rp j
2
п, Ш— oc
f( t) funksiyani haqiqiy deb hisoblaymiz va (A.131) ga binoan (A.133) ni 
quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:
T/2
___
0 0
 
\
r
x
f i t ) 2 =  
£
f n & l j I C ^ - m^ d t =
fnfmSnm. 
(A.134)
n, m = —oo 
- T / 2
n , m ——x
Bu yerda
r 
_ / 1, 
n = m ;
nm 
{  0, 
п ф т
Kroneker simvoli yoki S simvol deyiladi. (A.134) da yig'ndini hisoblab Furye 
qatori uchun Parseval tengligini olamiz:
OO 
DC
7 W =
£
 
\fn\2 = 2j2\fn\2.
 
(A .135)
71=1
334

---

Bu yerda 
f( t) 
—
0
boigan ligi uchun 
f 0 
= 0.
Davriylik xossasiga ega bo'lm agan funksiyalar uchun (A .12 8)-(A .1 29 ) 
qator integral bilan almashtiriladi:
OO
/( * ) =  ^
J
F (v )e iutdw. 
(A .136)
— OO
Bunga 
Furye integrali 
deyiladi. Bu yerda 
f ( t ) 
funksiy chekli vaqt oralig!ida 
mavjud boiishi kerak. Y a’ni 
t 
-> ± o c da 
f( t) 
-+ 0 kerak.
F(uj) Furye amplitudasi 
deyiladi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
OO
F H =
J
f{t)e ~ iwtdt. 
(A .137)
— OO
(A .136) da chastota 
uj
uzluksiz o ‘zgaradi. Shuning uchun Furye integraliga 
yoyish 
uzluksiz spektrga 
yoyish deb yuritiladi. 
Boshlang'ich funksiya 
f(t) 
haqiqiy b o is a , quyidagi shart o'rinli bo'ladi:
F *(w ) =
F ( —w). 
(A .138)
Furye integrali bilan aniqlangan funksiyaning kvadratidan barcha vaqtlar 
bo'yicha olingan integralni aniqlaymiz:
OO 
ОС 
ОС 
OO
/ 
f 2(t)dt =
J 
dt 
j 
F {u )ciutdw 
j
F (w ,)e iш' гc/u^,. 
(A.139)
— OO 
— ОС 
— ОС 
— OO
Bu yerda o'n g tomondagi vaqt bo'yicha integral l / 2 -к bilan birga 5(
uj
+ w ')
ni beradi. Endi yuqoridagi ifodani 6-funksiya yordamida u>’ bo'yicha integral- 
laymiz va (A .138) ni inobatga olib quyidagini hosil qilamiz:
oo 
oo
I
f 2{t)dt =
± - J
\F(u)\2dLJ. 
( A .140)
— ОС 
— OO
Bu ifoda Furye integrali uchun 
Plansheral formxdasi 
(yoki umumlashgan Par- 
seval tengligi) deb yuritiladi.
K oordinataga bog'liq bo'lgan va fazoning chekli qismida mujassamlash- 
gan funksiyani Furye integraliga yoyish mumkin:

---

f ( k ) =
J
f ( r ) e lkrdr 
(A.142)
esa Furye amplutuda yoki funksiyaning Furye tasviri deb yuritiladi.
Agar ko!rilayotgan funksiya koordinata va vaqtga bog'liq bo'lsa, bir vaqt­
da koordinata va vaqt bo'yicha Furye integraliga
f f r t )  =
^ 4
J J
f{k,uj)el(ul~kr)dkdw. 
(A.143)
yoyish mumkin. Bunda funksiyaning Furye tasviri teskari Furye almashtirishi 
bilan aniqlanadi:
f{k ,u ) =
j j
f ^ t y ^ - ^ d r d t .  
(A. 144)
Furye qatori yoki integrali fizika masalalarini yechishda muhim ahamiy- 
atga ega. Ayniqsa differensial tenglamalarni yechishda qo'l keladi. Bundan 
tashqari nurlanish spektrini o'rganishda spektrometrning matematik ifodasi 
deb qarash mumkin.
A .
5 Dirak delta-funksiyasi
J-funksiya singular bo'lib, Dirak
2
tomonidan kiritilgan va nazariy fizi- 
kaning ko'p masalalarida ishlatiladi. J-funksiya quyidagi munosabatlar bilan 
aniqlanadi:
Bu yerda 
к to'lqin vektori,
8(x) - { «
Z
Х
Л
» <» <<>•
(A-145)
Bu ta’rifdan 5-funksiyaning asosiy xossasi kelib chiqadi:
6
J
f(x )5 (x ) dx =  / (
0
), 
a < 
0
< b. 
(A.
146)
a
Bu yerda f( x ) ixtiyoriy uzluksiz funrsiya. (A.
146) 
integralni quyidagi ko'ri­
nishda yozish mumkin 
ь
J
f(x)S (x — xq
) 
dx = f ( x o), 
a < xq < b. 
(A.
147)
2
П .А .М .Д и р а к , Основы квантовой механики, Г И И Т Л , 1937.
336

---

Agar Xo integrallash sohasidan tashqarida (xo < a; xo > b) bo‘lsa, bu integral 
nolga teng bo‘ladi.
6-funksiya natijaviy ifodalarda ishtirok etaolmaydi. Doimo d-funksiya 
yozilganda, albatta uning argumentlaridagi o‘zgaruvchilar bo'yicha integral 
olish ko'zda tutiladi. Bu funksiyani analitik funksiyalar ketma-ketligining 
limiti deb qarash mumkin.
Xususan, bunday xossaga
= sinox
7ГХ
funksiya ega bo'lib, a —» oo da o'zini 5-funksiya kabi tutadi. Haqiqatan ham, 
P(x)|x=o — а/ж va a
>00
da cheksizga intiladi. x ф 0 da uning qiymati 
so'nuvchi amplituda bilan nol atrofida tez tebranadi. Nihoyat, ixtiyoriy a da
00
sin ax , 
--------dx = 1.
7ГХ
oc
/
kin:
OO
f  sin ax 
j
1 
sin ax
/ ~ ^ ~ dx =  
*(*) = ~ lim ------- ■ 
A .148)
J
TiX 
7Г a —»oo 
X
'
o o
Shunga o'xshash d-funksiyaning boshqa tasawurlarini ham yozish mum- 
=
(A.J49)
S(l) = ^ i 5 1
o°'xp( - ? ) • 
(A15°)
exp
i ( i ) = ■ a
 
1
— Д
 
i> • 
( А . Ш )
«[exp ( j ) + lj
OO
<*(*) =  ^
J
e2ifcx dk , 
(A. 152)
— OO
х/ ч 
dQ(x )
( l ) = ~ cb
■ 
(АЛ53>
0 (x ) - Xevisayda funksiyasi
« ■ > - { ? £ : > ! !
(Али> 
22
 - Elektrodinamika 
337

---