Nazariy fizika kursi

p[r,t)
va tok 
zichligi 
j ( r , t
) bilan to ‘liq aniqlangan deb hisoblaymiz. Ta’sir integrali 
(4.31) ning birinchi hadida maydon kattaliklari ishtirok etmaydi, shu­
ning uchun uning variatsiyasi nolga teng. Ikkinchi hadda 
j l(r, t
) vari- 
atsiyalanmaydi. Bularni hisobga olib, ta’sir integralining variatsiyasini 
yozamiz:
6S
- \ s
- j '6 A i + l - F ik5Fik
С 
07
Г
dft
= 0.
(4.32)
Bu yerda 
F lkSFik
=
Fik5 F lk
ekanligi hisobga olindi. Elektromagnit 
Maydon tenzori potensiallar orqali (3.31) ifoda bilan aniqlanishini hi­
sobga olib quyidagini yozamiz:
4
/
-
j ^ A i + ^ - F lk^ - 5 A k
С 
87Г 
o x 1
JL 
Fik ^ 5A
87Г 
6 x k
1
dn.
 
(4.33)
Elektrodinam ika
97

---

Ikkinchi hadda 
{ i . k}
—> {/с, г} almashtiramiz va 
F kl
= — 
F lk
hisobga 
olib (4.33) ni qayta yozamiz:
S S = - ~ [ \ - j i6 Ai - ± - F ik
C 
J 
l С 
4-7Г
dSAj
dxk
clQ.
(4.34)
Ikkinchi integralni 
x k
koordinata bo'yicha bo'laklab integrallaymiz: 
1
S S —
- J
Bu yerda
1 .i 
1 
d F ik
с ^ 
4n dxk
5Aidii
______L _
f p ik
47Г
с J
SAidSk
(4.35)
-
[ F lk6AidSk
47ГС 
J
to ‘rt o ‘lchovli fazoda 
Sk
giper sirt bo'yicha integral b o ‘lib, uning qiyj 
matlari 
xk
bo'yicha chegarada olinadi. Agar 
x k => x, y, z
b o ‘lsa, 
chegara cheksizda yotadi. Maydon cheksizda nolga intiladi. Agar 
x k =
ct
b o ‘lsa, chegara boshlang'ich va oxirgi vaqt momentlari bo'lib. unda 
variatsiya 
SAi
nolga teng. Demak, (4.35) dagi oxirgi had nolga tengj 
ekan. Natijada quyidagini olamiz:
M b '
+
1 
d F ik
4-7Г 
dxk
SAidQ.
= 0 
.
(4.361
Bu yerda 
SAi
variatsion prinsipga ko'ra aynan nolga teng emas, integral 
nolga teng b o ‘lishi uchun faqat qavs ichidagi ifoda nolga teng boiishi- 
mumkin, ya’ni
d F ik
4тг ,
dxk
Bu tenglamani komponcntalarda yozamiz. 
i
= 1:
d F 10 
d F 12 
d F
13 _ _4 tt 0 
dx° 
d x
2 
dx
3 
с ^
Yoki uch o'lchovli belgilashlarda
(4.37)
(4.381

---

Qolgan ikkita (г = 2, 3) tenglama bilan bu tenglamani birlashtirib bitta 
vektor tenglama ko‘rinishda yozamiz:
(4.40)
= 0 hoi uchun quyidagi tenglamani olamiz:
div 
E —
47
тр .
(4.41)
Tenglamalar (4.40)-(4.41) Maksvell-Lorentz tenglamalarining ik­
kinchi 
juftini tashkil qiladi, (4.37) esa bu tenglamalarning to ‘rt, o ‘lchovli 
ko'rinishini beradi.
Bu tenglamalarni integral ko‘rinishda yozamiz. Buning uchun av- 
val 
(4.41)-tenglamani ixtiyoriy hajm b o ‘yicha integrallaymiz va chap 
tomoniga Ostrogradskiy-Gauss teoremasini qo‘llaymiz:
e sirt o ‘rab turgan sohadagi to'liq elektr zaryadi. Bu tenglama eletrodi- 
namikada Gauss teoremasi deb yuritiladi: