b). To’g’ri kasr ratsional funtsiyalarni sodda kasrlar ko’rinishida ifodalash va ularni integrallash
A Ax B
1) x Aa; 2) (x a)k (k 1 бутун сон); 3) x2 px q; ( p2 q 0 ya’ni, kvadrat uch had haqiqiy ildizga ega emas);
1
2
C
4)
Ax B
(x2 px q)n
2
p
(n 1 butun son, 4 q 0) ratsional to’g’ri
kasrlarga sodda kasr ratsional funksiyalar deyiladi. (A,B, p,q,a- haqiqiy sonlar).
A
Birinchi ikki xildagi funksiyalarni osongina integrallash mumkin, ya’ni,
1) x a dx Aln x a C,
A
a
2) (x a)k A(x a)k d(x a) A(x k 11 C 1 k (x 1)k1 C
Ax B
bo’ladi. Endi ushbu
1
3) x2 px q dx integralni hisoblaymiz.
Oldin xususiy hol x2 px q dx integralni qaraylik. x2 px q dan
p
to’la kvadrat ajratib, x 2 t almashtirishdan keyin quyidagini hosil qilamiz:
x2 px q dx (x p)2 q p2 dx dx dtt (t2 ta2 ),
p
2
bu yerda a q 4 . Oxirgi integralda integrallash jadvalidan foydalanib,
x2 px q dx 1 arctg t C 4q p2 arctg
2x p
4q p2
(2)
Ax B
natijani hosil qilamiz.
Endi x2 px q dx integralni hisoblaymiz. Ax B (2x p) A Ap B
shakl o’zgartirishdan foydalanib, integralni quyidagicha yozamiz.
Ax B x2 px q
(2x p) A Ap B
x2 px q dx
A x2 px q dxB Ap x2 px q dx. Oxirgi tenglikning o’ng tomonidagi birinchi integral
x22x xp q dx d(x2 px q) ln x2 px q C1
bo’lib, ikkinchi integral (2) formulaga asosan,
Dostları ilə paylaş: |