Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tеrmiz davlat univеrsitеti

5 guruhlar
Ushbu bo'limda . Abelian guruhlari toifasini , guruhlar toifasini bilan belgilaymiz. Ma'lumki, qo'shilishi tomonidan berilgan chap qo'shimchaga ega. 𝑇_ab guruhi 𝑇 guruhining ablizatsiyasi deb ataladi.
Ta'rif 2. guruh - bu juftlik ,μ) bu erda guruh, ikkilik operatsiya bilan birgalikda u qo'shimcha ravishda yoziladigan kommutativ emas
shunday:

1. 
   ,
   
2. 
   z.
   
3. 
   +z=z+xy.
   
4. 
   .
   

Bu erda
Shubhasiz, ikkinchi sinfning har qanday kommutativ assotsiativ nilpotent algebrasi guruhidir.Shuningdek, har qanday guruhni guruhi sifatida nolga ko'paytirilishi mumkin.
  tomonidan guruhlari toifasini belgilang. Har qanday guruh ahamiyatsiz guruh tuzilishiga ega bo'lgani uchun (ya'ni ), biz
ekanligini ko'ramiz. Kiritish chap qo'shimchaga ega. Uni tavsiflash uchun biz aniq faktlarni tuzatamiz.
guruhi uchun bilan guruhining markazini belgilang, ya'ni , barchasi uchun .
Xy , . shaklidagi barcha elementlar tomonidan yaratilgan ning kichik guruhini bilan belgilang. iii) tomonidan. Shunday qilib asosiy guruhining markaziy kichik guruhi va biz tegishli guruhini ko'rib chiqamiz. Keyin topshirig'i funksiyasini belgilaydi, bu
qo'shilishining chap qo'shnisi. Bizga ( , guruhi ham kerak, bu  tomonidan belgilanadi va guruhining ning ablizatsiyasi deb ataladi. guruhlari uchun kichik guruh tushunchasini aniq usul bilan kiritish mumkin. Agar guruhi ning kichik guruhi normal, agar u asosiy guruhning normal kichik guruhi bo'lsa va . kichik guruh agar
a va
barcha uchun ushlab turilsa va . Endi, guruhlarning markaziy kengaytmasi qazib olinishi aniq bo'lishi kerak. ning markaziy kichik guruhi ekanligiga e'tibor bering.
iv) sharti tufayli tomonidan berilgan akslantirish, barcha uchun guruh homomorfizmidir. Bundan tashqari ii) u omil orqali guruhi.

1. 
   Im (𝜆_x) ⊂ (𝐺) ekan, biz A ning abel guruhiga kiradigan homomorfizm ekanligini va (𝐺) ekanligini va shuning uchun u G_AB abelizatsiyasi orqali omil ekanligini ko'ramiz. I) shartdan kelib chiqadiki, 𝜇 akslantirish aniq belgilangan homomorfizmni beradi
   

( ) ⟶ (𝐺) ; x y ,
biz uni notatsiya bilan suiiste'mol qilish bilan baribir u bilan belgilab qo'yamiz. Bu erda G_AB da x ∈ 𝐺 sinfini bildiradi.
Ko’rinib turibdiki , va shuning uchun guruhlarining tabiiy aniq ketma-ketligi
(2.6)
Bundan tashqari , ning markaziy kichik guruhidir .
guruhi qattiq deb ataladi, agar uning tarkibidagi bitta guruh tuzilishi ahamiyatsiz bo'lsa: , . Li algebralarida 9-xulosa bo'lgani kabi bizda ham quyidagi xulosa mavjud
Xulosa guruh bo'lsin, Z 𝑀 markaz va bo'lsin.
i) ustidagi har qanday guruh tuzilishi abeliya guruhlari ning gomomorfizmini aniqlaydi, , tomonidan berilgan .
ii) Chiziqli akslantirishdan boshlab , ni aniqlang. Ushbu ko'paytma 7-ta'rifning ii) xossasidan tashqari barcha shartlarini qanoatlantiradi. Agar qo'shimcha ravishda bo'lsa, u holda bu ko'paytma m da guruh tuzilishini belgilaydi .
iii) guruh qattiq bo'ladi, agar mukammal bo'lsa, ya'ni yoki ning markazi ahamiyatsiz.
Biz bu faktning isbotini keltirmaymiz, chunki u 9-xulosaning isboti bilan bir qatorda ketmoqda.