Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tеrmiz davlat univеrsitеti

Teorema.2.1. K maydon ustida aniqlangan A algerada quyidagi 2ta tenglik bajarilsa, u holda A algebra unar Leybnits algebrasi deyiladi:
_(2.1)
(2.2)
Keyingi teorema esa binary Leybnits algebrasining xaraktristikasini tafsiflaydi.
Teorema.2.2. K maydon ustida A algebra binary Leybnist algebrasi bo’lsa, quyidagi tengliklarni qanoatlantiradi:
(2.3)
_(2.4)
(2.5)
(2.1) va (2.2) identifikatorlar mos ravishda quyidagilarga ekvivalentdir.
,
.
Identifikatsiyaning kengaytirilgan shakllari (2.3), (2.4) va (2.5) quyida keltirilgan: ,
,
.
Ma'lumki, har bir Li algebrasi Malcev algebrasi va har biri Malcev algebrasi binar dir. Lekin, Malsev bo’lmagan binar Li algebrasi va Li bo’lmagan Malsev algebrasi mavjud. Chunki Leybnits algebralari kommutativ bo'lmagan umumlashmalardir Li algebrasining har qanday binar Li algebrasi binar Leybnits hisoblanadi. 2.2- teoremadan kelib chiqadiki, har qanday Leybnist algebrasi binar Leybnist va har bir binar Leybnist algebrasi unar Leybnistdir. Bundan tashqari 2.1- teorema har qanday Li algebrasi unar Leybnist algebrasi ekanligini bildiradi. Qo’shimchalar tasviri quyidagicha:

Yuqoridagi qo’shimchalar qatiy ekanligini kuzatamiz. Keyinchalik biz bu faktlarni tasdiqlovchi misollar keltiramiz.
Misol.2.1 (Leybnist algebrasi emas, biroq binar Leybnist algebrasi)
algebra to’rt o’lchovli antikomutativ algebra bo’lsin. Unda ko’paytma quyidagicha aniqlansin.
, , ,
Va nol element mavjud emas. Bu holda A algebra Li bo’lmagan Malsev
algebrasiga aylanadi demak A algebra Leybnist algebrasidir. Biroq A algebra Leybnist algebasi emas chunki

Misol.2.2 (binary Li algebra emas lekin binar Leybnits algebra) ikki o’lchovli algebrada ko’paytma quyidagicha kiritilsin.

va nol element mavjud emas. U antikomutativ bo’lmaganligi uchun algebra binary Li algebra emas. Boshqa tomondan algebra Leybnits algebrasidir.
algebra binary Leybnits algebrasi emas.
Misol.2.3 Yuqorida aniqlangan ikkita algebralarning to’g’ri yig’indisi A ⊕ B binar Leybnits algebrasi na Leybnits na binary Li algebrasi ekanligini bildiradi.
Misol.2.4 (binary Li algebrasi ham emas unar Li algebrasi ham emas lekin Leybnits algebrasi). To’rt o’lchovli antikomutativ bo’lagan algebrada ko’paytma quyidaicha aniqlanadi va nol element mavjud emas. U holda C algebra unar Leybnits algebrasidir biroq binary Leybnits unday emas,

Misol.2.5(binary Li algebra emas biroq unar Li algebra).Bizga uch o’lchovli antikomutativ algebra berilgan bo’lib, unda ko’paytma quidagicha kiritiladi
, ,
va nol element mavjud emas. D algebra binary Li algebra bo’lmaydi chunki

2.1 va 2.2 teoremalarni isbotlashda chiziqli akslantirishdan foydalanamiz
tegishli va A ning qisman chiziqli joylashuvi bo’lsin. Qisman chiziqli joylashuvning xususiyatlarini [8, 1-bob] ga qaraymiz. Aslida o’rniga ni yozishimiz kerak va