2.2-§. Simmetrik Leybnits algebralari va Li algebralarining kategoriyalari. Bizning maqsadimiz quyidagi natijani isbotlashdir.
Teorema.2.3. Simmetrik Leybnits algebralari va Li algebralari toifalari izomorfdir. Bu quyida keltirilgan 12 va 13-tasdiqlarning natijasi.
Tasdiq.2.1. simmetrik Leybnits algebrasi bo'lsin. Biz qo'yamiz:
,
].
hunday qilib Keyin operatsiyalari bilan birga
- bu Li algebra.
Isboti Avval biz qavsni ko'rib chiqamiz. aniq. va hosilalar bo'lgani uchun, u chun ham shunday bo'ladi. Shunday qilib Li algebra tuzilishi. Keyingi ko'paytma haqida. Shubhasiz komutativ algebra tuzilishini beradi. Bizda mavjud
yz]=[x,[y,z]+[z,y]]=0
Xuddi shunday
z,x]=[[y,z]+[z,y],x]=0
Bu yerda Lemma.1.dagi (ii) va (2) identifikatorlaridan foydalandik.. Shundan kelib chiqadiki,
z)=[x,yz]+[yz,x]=0.
.
Bu shuni ko'rsatadiki, ko'paytma ikkinchi darajali nilpotensiya komutativ va assotsiativ algebra tuzilishini aniqlaydi. Bizda mavjud
2{y,z}]+[2{y,z),x]
+[[y,z],x]-[[z,y],x].
Lemma1 ning iii) munosabati bilan birinchi va uchinchi yig’indida qolgan yig’indidlar bilan bir xil nolga teng bo'ladi. Demak .
Xuddi shunday
]-[z,[x,y]+[y,x]]=0 yuqoridagi (2) munosabat va Lemma.1. dagi (ii) identifikatorlar tufayli. Li algebra haqiqatan ham olinganligini tekshirishni tugatadi.
Tasdiq.2.2. Li algebra bo'lsin. Biz
ni qo'yamiz.
Keyin ga simmetrik Leybnits algebra tuzilishini belgilaydi.
Isbot yuchun quyidagilar mavjud:
,y]z={[x,y],z}={{x,y},z}+{xy,z}={{x,y},z}
ning uchun Leybnitsning ikkala o’ng va chap identifikatorlari bajariladi .
2 ta'rifdan keyin aytilganidek (2.4) ni tekshirish shart emas.
