Oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi tеrmiz davlat univеrsitеti

Teorema.1.2 Agar o'ng Leybnits algebra uchun o’ng ko'paytirishning barcha operatorlari nilpotent bo'lsa, u holda algebra nilpotent bo'ladi. Xususan, o’ng ko'paytirish uchun nolga teng bo'lgan umumiy xususiy vektor mavjud.
Isbot. Li algebrasi bo'lgani uchun uchun taklif haqiqatdir. Shuni e'tiborga olingki, markaziy ideal, uning o’ng ko'paytmalar bo'yicha ga ta'siri ahamiyatsiz. Nilpotent Li algebrasining markaziy kengaytmasi bo'lgan Leybnits algebrasi ham nilpotentdir.
Xulosa. Agar o'ng Leybnits algebra uchun barcha o'ng ko'paytirish operatorlari nilpotent bo'lsa, unda barcha chap ko'paytirish operatorlari nilpotentga ega.
Ushbu xulosaning isboti (L_x)ⁿ=(-1)^n-1L_x(R_x)^n-1 identifikatsiyasiga asoslanib, biz n induksiyasidan foydalanayotganimizni isbotlaymiz va holat shartdan ravshanki Aytaylik (L_x)^n-1=(-1)^n-2L_x(R_x)^n-2. Unda
(L_x)ⁿ(z)=[x,(L_x)^n-1(z)=[x,(-1)^n-2L_x(R_x)^n-2(z)]=(-1)^n-2[x,[x,L_x(R_x)^n-2(z)]]=
=(-1)^n-2[x,[L_x(R_x)^n-2(z),x]]=(-1)^n-1L_x(R_x)^n-1(z).
Leybnits algebralarining boshqa nilpotentlik xususiyatlari uchun biz [142] ko’rib chiqamiz.
Tasdiq. Leybnitsning har qanday algebrasi ning barcha nilpotent ideallarini o'z ichiga olgan maksimal nilpotent idealga ega.
Isbot. ideal -da nilpotent ideal bo'lsin. U holda yig'indisi nilpotent bo'lib, u darhol ning o'ng markazidan kelib chiqadi. Shuning uchun maksimal nilpotent ideal borligi masalasini muhokama qilganda faqat nilpotent ideallarni ko'rib chiqish kifoya va o'z ichiga olgan . Li epimorfizmini ko'rib chiqing :
. Li algebra L_Li uchun maksimal nilpotent ideal mavjudligi ma'lum. Uning tasviri ostidagi qismi ham nilpotentga ega. Bu isbotni to'ldiradi.
Leybnits algebrasining maksimal nilpotent idealligi algebraning nilradikali deyiladi (bundan keyin bilan belgilanadi).
bilan belgilanadigan yechiluvchan radikal yoki sodda radikal (maksimal yechiluvchan ideal) mavjudligi , Li algebralarida bo'lgani kabi xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi.
Leybnits algebralari uchun taniqli Li teoremasining quyidagi analogi ham haqiqiydir (qarang [93], [143]).