Propuesta para Trabajo de Grado

4. Determinante de una matriz

Dada una matriz de orden 2, el determinante de se calcula de la siguiente manera:

Dada una matriz de orden 3, el determinante de se calcula de la siguiente manera:

El determinante de también se puede calcular a partir de los determinantes de matrices de orden 2:

5. Producto cruz

El producto cruz es una operación entre 2 vectores, la cual produce un vector perpendicular a los 2 vectores originales.

Dado 2 vectores y definidos en , el producto cruz entre y está definido como el determinante de la siguiente matriz:

Como se puede observar, el operador del producto punto está representado por una cruz entre 2 vectores.

6. Proyección de un punto en un plano

En el espacio , se tiene un punto ubicado en un plano, y el vector unitario normal al plano. Dado un punto , se quiere hallar la proyección del punto en el plano (); tal como se ve en la figura 1.


Figura1. Proyección de un punto en un plano.

Primero se halla la distancia de hasta , en dirección de la normal [7]:

Teniendo la distancia, se sabe que multiplicándola por un vector unitario en dirección opuesta a , y tomando como punto de origen , se puede hallar el punto de proyección en el plano:

7. Intersección entre 2 líneas

Dados 2 vectores en : y ; y sus respectivos puntos de origen, y , es posible hallar el punto de intersección entre estos 2 vectores. Primero se crea un nuevo vector como la resta entre y , tal como lo muestra la figura 2.

Figura 2. Intersección entre 2 líneas
Finalmente, se procede a utilizar la siguiente ecuación para encontrar el punto de intersección [8]:

8. Coordenadas baricéntricas

A partir de 3 puntos que conforman los vértices de un triángulo, y un cuarto punto dentro del triángulo; se puede determinar un conjunto de coordenadas con valores entre 0 y 1, que permiten representar el punto dentro del triángulo, en términos de sus vértices.
Dados 3 puntos en ; , y , los cuales representan los vértices de un triángulo; y un punto ubicado dentro del triángulo, las coordenadas baricéntricas (), representan la razón del área de cada subtriángulo generado por el punto , y el área total del triángulo [9]; tal como se observa en la figura 3.



Figura 3. Coordenadas baricéntricas

El área de un triángulo puede calcularse fácilmente, como la mitad de la norma del producto cruz entre 2 de sus lados. Así, el área del triángulo más grande estará dada por la siguiente ecuación:

De la misma manera, se calcula el área de los 3 triángulos pequeños:

Finalmente, se calculan las coordenadas baricéntricas, como la razón entre las áreas menores, y el área mayor:

Se debe cumplir que:

Como se ha mencionado, el punto se puede calcular a partir de los vértices del triángulo, y las coordenadas baricéntricas: