Propuesta para Trabajo de Grado

13. Geometría de mallas 2-simplex

Dada una malla tridimensional -simplex , y un vértice , tal que ; la geometría de se define para cada , a partir de un ángulo simplex y un conjunto de 3 coordenadas baricéntricas . Cada vértice tiene un vecindario conformado por otros 3 vértices , los cuales conforman un triángulo orientado [3] [5].
Para encontrar las coordenadas baricéntricas, primero se encuentra la normal al triángulo generado por el vecindario:

Luego, se halla la proyección del punto en el triángulo conformado por el vecindario:

Finalmente se tienen las coordenadas baricéntricas de los vértices del triángulo, respecto al punto proyectado:



Cumpliéndose que:

Para hallar el ángulo simplex , se necesita el centro del círculo circunscrito del triángulo formado por los vértices , su respectivo radio , el centro de la esfera circunscrita del tetraedro formado por los vértices , y su respectivo radio .
Para encontrar el centro del círculo circunscrito, primero se encuentran 2 vectores unitarios perpendiculares a 2 lados del triángulo:


Luego, se hallan los puntos medios, de los 2 lados del triángulo:


Finalmente se encuentra el centro del círculo circunscrito:

El valor de se puede encontrar fácilmente:

Para encontrar el centro de la esfera circunscrita [11], se debe realizar una transformación en los puntos del triángulo, a través de la cual la esfera se adapta a un plano:





A partir de este valor de conversión es posible encontrar el centro y el radio de la esfera circunscrita:




Una vez que se tiene estos valores, el ángulo simplex se halla de la siguiente manera:

Dónde:



En la figura 10 se puede observar diversos elementos que definen la geometría de la malla simplex [3]:



Figura 10. Geometría de mallas simplex

14. Definición de fuerzas en mallas 2-simplex

Cada vértice de una malla simplex está sometido a una ley de movimiento basada en las fuerzas de Newton, las cuales implican tanto fuerzas internas, como fuerzas externas. De esta manera, la malla simplex se ve envuelta en un modelo dinámico, en la que se somete a las fueras aplicadas por cada uno de sus vértices. Para cada vértice de una malla tridimensional 2-simplex , la fuerza aplicada a través de un tiempo discreto es [3] [5]:

Dónde:

• 
  hace referencia al tiempo discreto sobre el cual se itera la deformación de la malla a causa de las leyes de movimiento.
  
• 
  es la fuerza interna del modelo, la cual se calcula en cada iteración .
  
• 
  es la fuerza externa del modelo, la cual se calcula en cada iteración .
  
• 
  es un valor de amortiguamiento.