Propuesta para Trabajo de Grado

4. Control del modelo interactivo

Como se ha visto, el control de la esfera está basado en su posición sobre la superficie de la malla, y en su tamaño. Este control se puede asegurar a partir de la manipulación de 2 características principales de la esfera:

• 
  El centro de la esfera .
  
• 
  El radio de la esfera .
  

Estos valores se pueden modificar con el mouse, a través de ambiente visual. El control del radio depende simplemente de un cambio en el tamaño de la esfera. Para cumplir con la restricción de que la esfera siempre se sitúe en la malla, se necesitan 2 valores adicionales:

• 
  El punto focal de la cámara de la visualización .
  
• 
  La conversión de las coordenadas bidimensionales del mouse a coordenadas tridimensionales en el espacio en el que se encuentra la malla, definiendo un vector
  

Entre estos 2 valores se puede construir el siguiente vector :

De tal manera, que si se está desplazando la esfera con el mouse, y éste se encuentra visualmente ubicado sobre la malla, el vector intersectará la malla. Así el primer valor que se intersecte representara el nuevo centro de la esfera. Si por el contrario, no se intersecta la malla, la esfera no se deberá mover porque no se ha encontrado un nuevo valor para su centro. La figura 15 muestra un ejemplo de una esfera desplazada sobre la malla de un gato.




Figura 15. Control de la esfera
Una vez definido el control de la esfera, la implementación resulta ser más sencilla tomando como base 3 clases de la librería VTK:

• 
  vtkHandleWidget: Permite desplazar y escalar (manejar) una malla en el espacio.
  
• 
  vtkSphereHandleRepresentation: Define la representación de una malla esférica, que poder ser manipulada por vtkHandleWidget.
  
• 
  vtkPolygonalPointPlacer: Esta malla restringe la movilidad del vtkHandelWidget, y le permite desplazarse únicamente sobre otra malla, tal como se definió anteriormente a partir del vector .
  

Si juntamos estas 3 clases, podemos determinar entonces que vtkPolygonalPointPlacer restringe la movilidad de una malla esférica (vtkSphereHandleRepresentation se desplaza gracias a vtkHandleWidget), sobre otra malla cualquiera, en relación al vector .

.

5. Métodos de deformación

Como se ha visto, la deformación de la malla depende estrictamente de la posición y del tamaño de la esfera. Entonces, para cada punto perteneciente a la malla, la fuerza aplicada a dicho punto depende de 3 valores:

• 
  El centro de la esfera .
  
• 
  El radio de la esfera .
  
• 
  La distancia del punto evaluado al centro de la esfera :
  

Se crearon diferentes modelos de fuerzas basados principalmente en cálculos sobre estos 3 valores.

5.1. Diferencia de distancias

Se evalúa simplemente como la diferencia entre el radio de la esfera y la distancia respecto al punto evaluado, para los casos en que la distancia es menor que el radio:

Esto indica que los puntos que se encuentren dentro de la esfera presentan una fuerza que puede ser máximo , mientras que para los puntos que se encuentra fuera de la esfera no se presenta fuerza alguna.

5.2. Exponencial

Se evalúa la fuerza, a partir de la siguiente función exponencial:

Nótese que cuando , la fuerza resultante puede dar valores significativamente altos, mientras que si , la fuerza resulta ser un valor menor que 1. Esto nos indica que la fuerza resultante para los puntos dentro de la esfera puede llegar a ser muy alta, mientras que para los puntos fuera de la esfera la fuerza es muy pequeña.

5.3. Gaussiana

Se evalúa la fuerza a partir de la siguiente función:

Donde es un valor escogido por el usuario.
Debido a que la función exponencial puede generar magnitudes muy altas en la fuerza, la función gaussiana corrige este problema, ya que presenta una elevación más suave que una función exponencial común.

5.4. Función de base radial

Basado en una función de base radial [18], este método atrae los puntos dentro de la esfera, hacia la superficie de la misma. Dada la esfera (con sus valores y ), un punto perteneciente a la malla simplex, tal que se encuentra dentro de la esfera; y un vector unitario que representa la normal de la malla simplex en el vértice ; se tiene que:

• 
  La ecuación de la esfera está dada por:
  

Donde representa un punto sobre la superficie de la esfera.

• 
  Existen un valor tal que
  

Se pueden unir estas 2 ecuaciones de la siguiente forma, donde finalmente se tiene que hallar :

Teniendo que:

Y si se eleva cada lado al cuadrado se tiene que:

Despejando la ecuación, se tiene:

Expresando la ecuación en forma cuadrática:

Utilizando la fórmula cuadrática, y con =1, se tiene finalmente que:

Finalmente se tiene que la fuerza aplicada a es:

V - RESULTADOS Y REFLEXIÓN SOBRE LOS MISMOS

Debido a que el fuerte en este trabajo se centra en la capacidad de un usuario para deformar la malla utilizando una esfera, la evaluación está dada de forma cualitativa y no cuantitativa, por lo que no se cuenta con resultados de valor numérico. Por ende, esta evaluación está descrita por las ventajas y desventajas que tuvieron los 4 métodos propuestos de deformación, de manera que finalmente se pueda seleccionar el mejor. La evaluación se realiza, a partir de la aplicación del modelo deformable sobre una malla triangular en formato VTK [19], la cual; se convierte en una malla simplex.

1. Diferencia de distancias

Este método es factible, ya que debido a su restricción modifica solo la malla en la sección que se encuentra dentro de la esfera de control, y posee un rango de fuerza válido (es relativo al radio de la esfera). Presenta una desventaja, y es que la deformación la genera con una forma puntiaguda, lo que puede generar problemas en la forma en que el usuario moldea una malla. La figura 16 muestra un resultado gráfico de esta deformación.



Figura 16. Método de diferencia de distancias.

2. Exponencial

Este método no es factible, ya que genera valores de fuerza muy elevados (muy por encima del radio de la esfera), y ocasiona una deformación inadecuada sobre la malla. La figura 17 muestra un resultado gráfico de esta deformación.



Figura 17. Método de función exponencial

3. Gaussiano

Este método presenta valores de fuerza adecuados (son relativos al radio de la esfera), y además mantiene la continuidad de la malla. Sin embargo, tiene un problema grave, y es que para los puntos más alejados de la esfera llega a generar valores de fuerza significativos, que prácticamente escalan la malla en su totalidad; lo cual lo hace un método inadecuado. La figura 18 muestra un resultado gráfico de esta deformación.



Figura 18. Método de función gaussiana.

4. Función de base radial

Este método es factible, ya que debido a su restricción modifica solo la malla en la sección que se encuentra dentro de la esfera de control, posee un rango de fuerza válido (es relativo al radio de la esfera), y adapta la deformación a la superficie de la esfera, lo cual es una gran ventaja, ya que el usuario se basa en la forma de la esfera, para saber cómo deformar la malla. La figura 19 muestra un resultado gráfico de esta deformación.



Figura 19. Método de función de base radial.

Dados estos resultados, se puede determinar que los métodos más factibles para realizar una deformación interactiva, son los basados en la función de base radial, y la diferencia de distancias, ya que se aproximan a un resultado deseado por el usuario utilizando la esfera. Por otro lado, los métodos basados en las funciones exponencial y gaussiana no son factibles, ya que generan resultados que un usuario no esperaría, al aplicar fuerzas sobre los puntos que los desplazan a posiciones fuera de la esfera de deformación: la función exponencial genera valores muy altos respecto al radio de la esfera, y la función gaussiana genera valores de fuerzas apreciables, en zonas de la malla donde deberían ser despreciables. Sin embargo, se decide implementar el modelo basado en la función de base radial, debido a que la deformación se ajusta a la superficie de la esfera de control; hecho que un usuario esperaría al manipular una esfera.

VI – CONCLUSIONES, RECOMENDACIONES Y TRABAJOS FUTUROS

1. Conclusiones

A partir del desarrollo de este proyecto, se determinaron las siguientes conclusiones:

• 
  Se cumplió el objetivo general, de construir un prototipo que permitiera realizar deformaciones sobre una malla de manera interactiva, a partir de la creación de un modelo interactivo, y el posterior desarrollo de un modelo deformable aplicable al ya mencionado modelo interactivo.
  

• 
  Las mallas simplex, gracias a sus propiedades de auto-estabilización definidas por las fuerzas internas, permiten realizar deformaciones a un usuario sin que este se preocupe por la continuidad de la malla.
  

• 
  Las librerías ITK y VTK, tienen una gran variedad de herramientas aplicadas para el trabajo en visualización científica, estructuras de datos para mallas, algoritmos sobre mallas e imágenes, filtros, interacción, entre otras; que facilitaron el desarrollo y culminación de este proyecto.
  

• 
  El modelo interactivo basado en una esfera con un radio variable, y un desplazamiento dado sobre la superficie de una malla, facilita la interacción del usuario a la hora de determinar qué zona de la malla quiere deformar, y con qué magnitud.
  

• 
  Se definieron 4 modelos deformables aplicados a una malla simplex, sobre los cuales se realizó una valoración cualitativa, para determinar cuál permitía realizar una deformación basada en el comportamiento esperado por el usuario, al usar éste una esfera como el elemento sobre el cuál se define dicha deformación.
  

• 
  La computación gráfica ha ayudado a resolver una gran cantidad de problemas en otras áreas, ya que gracias al modelamiento tridimensional permite obtener una visión global que difícilmente se puede obtener con otros medios; y gracias a los algoritmos que aplica, permite realizar modificaciones sobre modelos tridimensionales, para encontrar soluciones. En el caso de la medicina [5] [20], ha ayudado a construir modelos realistas de elementos del cuerpo humano, simulaciones que permiten entrenar a los médicos en su trabajo, y software que a través de diversos análisis ayuda al médico a ofrecer diagnósticos precisos. En el caso de este trabajo, se apoya la construcción de un modelo tridimensional de los pulmones.
  

2. Trabajos Futuros

Este trabajo permite abrir las puertas a otros nuevos, que amplíen el desarrollo de este proyecto en ciertos aspectos, o que se basen en este proyecto para resolver otros problemas. A continuación se presentan casos en los cuales se usa este trabajo:

• 
  Como se ha mencionado antes, este trabajo forma parte de un proyecto más grande, en el cual se requiere modelar los pulmones de una paciente real, incluyendo además de su morfología diversos elementos más, como la separación por lóbulos, bronquios, aeración pulmonar, entre otros. Actualmente se está trabajando en métodos de segmentación sobre tomografías, para reconstruir tridimensionalmente estos elementos, e incluirlos dentro de la corteza pulmonar.
  

• 
  El proceso de calibración se puede automatizar por medio de métodos de inteligencia artificial: a partir de un sistema inteligente basado el en aprendizaje de máquina. Este sistema se entrena a partir de ejemplos, dados como calibraciones hechas por un usuario. Una vez entrenado el sistema, se le realizan pruebas para determinar su eficacia a la hora de realizar una calibración sobre la malla.
  

• 
  En otros contextos, el método de deformación planteado en este trabajo, puede ser usado para modelar de la misma manera otras partes del cuerpo como venas, órganos internos, huesos, entre otros. Incluso puede ser usado fuera del área médica, y usarse por ejemplo, para modelar componentes físicos, diseñar modelos tridimensionales, entre otras aplicaciones.
  

• 
  Al modelo de interacción planteado en este trabajo, se le pueden aplicar fácilmente modelos deformables diferentes a los 4 planteados en este documento, de manera que se complemente el desarrollo de este proyecto.
  

VII - REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFÍA

[1] Lai, J., Ye, M. “Active Contour Based Lung Field Segmentation.” International Conference on Intelligent Human-Machine Systems and Cybernetics. 2009.

[2] Terzopoulos, D., Fleischer, K. “Deformable Models.” Springer Verlag. 1988.

[3] Delingette, H. “General Object Reconstruction based on Simplex Meshes”. International Journal of Computer Vision. 1999.

[4] Gouaillard, A., Flórez-Valencia, L., Boix, E. “itkQuadEdgeMesh: A Discrete Orientable 2-Manifold Data Structure for Image Processing.” 2006.

[5] Montagnat, J. “Modèles Déformables pour la Segmentation et la Modélisation D’Images Médicales 3D et 4D.” L’Université de Nice Sophia-Antipolis. 1999.

[6] Kolman, B., Hill, D. “Algebra Lineal.” Prentice Hall. 2006.

[7] Gellert, W., Gottwald, S., Hellwich, M., Kastner, H., Kunstner, H. “Concise Encyclopedia of Mathematics.” Van Nostrand Reinhold. 1989.

[8] Bentley, J., Ottmann, T. “Algorithms for Reporting and Counting Geometric Intersections.” IEEE Trans. Comput. C-28, 643-647. 1979.

[9] Bottema, O. “On the Area of a Triangle inBarycentric Coordinates.” Crux. Math. 8, 228-231. 1982.

[10] Carr, G. “Formulas and Theorems in Pure Mathematics, 2^nd ed.” New York: chelsea, p. 623. 1970.

[11] Weissbach. “On Circumspheres of projections of regular simplexes.” Beitrage Algebra Geom. No. 16. 1983.

[12] Rognant, T., Chassery, J.M., Goze, S., Planes, J.G., “The Delaunay Constrained Triangulation: the Delaunay Stable Algorithms.” Institut dÍnformatique et de Mathématiques appliquées de Grenoble. 1999.

[13] De la Praga, Luis G., Ramírez, Jorge E. “Basic Three-dimensional Objects Constructed with Simplex Meshes.” Instituto Politécnico Nacional. 2004.

[14] Colleu, T., Morin, L., Pateux, S., Labit, C. “Floating Polygon Soup”. 2011.

[15] Heckbert, P. “QuadEdge Data Structura and Library.” 2001. http://www.cs.cmu.edu/afs/andrew/scs/cs/15-463/2001/pub/src/a2/quadedge.html

[16] J. Schroeder, William, Avila, Lisa S., Hoffman, William. “Visualizing with VTK: A Tutorial. IEEE Computer Graphics and Applications.” IEEE Computher Graphics and Applications. 2000.

[17] Ibañez, L., Schroeder, W., Ng, L., Cates, J. “The ITK Software Guide.” 2005.

[18] Buhmann, Martin D. “Radial Basis Functions.” Cambirdge. 2004.

[19] “VTK File Formats for VTK Version 4.2.” Kitware.

[20] McInerney, T., Terzopoulos, D. “Deformable Models in Medical Image Analysis: A Survey.” Medical Image Analysis. 1996