Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»

Teorem: Əgər Rikkati tənliyinin bir xüsusi həlli məlum olarsa, ümumi həlli iki kvadratura ilə alınır.

İsbatı: Fər edək ki, Rikkati tənliyinin bir xüsusi həllidir, belə ki,

olur. Z yeni axtarılan funksiya olduqda (1) tənliyində axtarılan funksiyanı

ilə əvəz edək. Onda alarıq:

Burada, (6) eyniliyini nəzərə alsaq, z-i təyin etmək üçün iki kvadratura ilə həlli tapılan

(7) şəklində Bernulli tənliyi alınır. (8.7) tənliyi isə

əvəzləməsi ilə

şəklində xətti tənliyə gətirilir.

Praktikada (1) Rikkati tənliyini bir başa əvəzləməsi apararaq (8) tənliyinə gətirmək lazımdır.

Həmin xətti tənliyin ümumi inteqralı

şəklində olduğundan, (1) tənliyinin ümumi həlli

şəklində olar, burada hər hansı funksiyalardır. Bu teoremə əsaslanaraq deyə bilərik ki, Rikkati tənliyinin iki xüsusi həlli məlum olduqda ümumi həlli bir kvadratura ilə, üç xüsusi həlli məlum olduqda isə kvadraturasız tapılır.

Bu tənliyin doğruluğu da (8) xətti tənliyi ilə əlaqədardır, belə ki, Rikkati tənliyinjn iki , həlli məlum olduqda (8) tənliyi üçün bir xüsusi həlli məlum olur, bu halda isə onun həllinin tapılması bir kvadratura tələb edir. Rikkati tənliyinin xüsusi həlləri olduqda isə (8) tənliyini ilk şəklində xüsusi həlləri məlum olur, bu halda ümumi həlli kvadraturasız şəlində tapılır.

Bəzi xüsusi hallarda P(x),Q(x),R(x) əmsallarının verilməsindən asılı olaraq Rikkati tənliyinin bir xüsusi həllini, nəticədə ümumi həllini kvadratura ilə tapmaq olar.

1. 
   P,Q və R sabit olduqda (1) Rikkati tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənlikdən ibarət olur ki, onun da ümumi həlli kvadratura ilə tapılır.
   
2. 
   olduqda, (1) Rikkati tənliyi dəyişənlərinə ayrılan tənlilərə gətirilir.
   
3. 
   , olduqda (1) tənliyi
   

şəklində bircins tənliyə gətirilir.

4. 
   , olduqda (1) tənliyi
   

şəklində ümumiləşmiş bircins tənliyə gətirilir. Bu alınan tənliklər isə kvadratura ilə həll edilir. A,B,C- sabit ədədlərdir. əvəzləməsi axırıncı tənliyi dəyişənlərinə ayrılana gətirir (m=-1).

şəlində tənlik xüsusi Rikkati tənliyi adlanır. A,B və m sabit ədədlərdir , Aşağıdakı iki halda bu tənlik elementar funksiyalarda inteqrallanır.

1. 
   şəklində dəyişənlərinə ayrılır ;
   
2. 
   burada əvəzləməsi aparılır, tənlik
   

dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirilir.

Liuvill isbat etmişdir ki, m-in ancaq və ancaq ədədinin tam olmasını təmin edən qiymətlərində xüsusi Rikkati tənliyi kvadratura ilə həll olunur.

Kurs: III

Fənn: Adi diferensial tənliklər

Ədəbiyyat siyahısı:

1. Q.Əhmədov, K.Həsənov, M.Yaqubov. Adi diferensial tənliklər. Maarif, Bakı, 1978.

2. H. Aslanov. Adi diferensial tənliklər və riyazi fizika tənlikləri. Bakı, 2001.

3. M.A.Dünyamalıyev, M.Y.Babayev, M.S. Aslanov. Adi diferensial tənliklər ( Dərs vəsaiti ) . Bakı, 2012.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», 2000, 176 с.

5. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- Минск: Вышэйшая школа, 1974.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1958.

Əlavə:

1. R. Məmmədov. Ali riyyaziyyat kursu, I, II hissə, Bakı, 1984.

2. V.M. Musayev, S.H.Qasımov. Adi diferensial tənliklər ( məsələ və misallar ). Bakı, 2008.

3. И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики. Санкт- Петербург, 2001.

4. К.Л.Лунгу, Д.Т.Письменный, В.П.Федин, Ю.А.Шевченко.Сборник задач по высшей математике. 2 курс, - 5 - е изд. –М.:Айрис-пресс,2007.–592с.:ил.– (Высшее образование).

5. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1980. – 365с.

Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu [e-mail]

Mövzu 7: Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli adi difеrеnsial tənliklər. Loqranj tənliyi. Klero tənliyi.

P L A N

1. 
   Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli difеrеnsial tənliklər
   
2. 
   Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli adi difеrеnsial tənliklər üçün Koşi məsələsi
   
3. 
   Törəməyə nəzərən həll оlunmamış birtərtibli adi difеrеnsial tənliyin məxsusi həllinin tapılması
   
4. 
   Loqranj tənliyinin həlli üsulu
   
5. 
   Klero tənliyinin həlli üsulu