Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»

Mövzu: 1 Diferensial tənlik anlayışı və ona gətirilən məsələlər

P L A N

1. 
   Diferensial tənliyin yaranma səbəbləri
   
2. 
   Diferensial tənliyin növləri və həlli haqqında anlayış
   
3. 
   Diferensial tənliyin tətbiqi ilə bağlı bəzi məsələlər
   

Məlum olduğu kimi diferensial hesabının əsas məsələsi ondan ibarətdir ki, verilən funksiyanın xassələri araşdırılır,əni törəməsi tapılır, azalma və artma intervalı təin edilir,ekstremum nöqtələri tapılır və s.

Tərsinə inteqral hesabında isə verilən xassələrə görə məlum olmaan funksiya tapılır.yəni f(x) funksiyası verildikdə onun ibtidai funksiyası (qeri müəyyən inteqralı) tapılır. Cəbrdə məlum olmayan kəmiyyətin tapılması üçün tənliklərdən istifadə edilir. Məsələnin şərtlərinə əsasən verilənlərlə məlum olmayan kəmiyyətin əlaqəsini ifadə edən tənlik qurulur, sonra isə onu həll edərək ,axtarılan kəmiyyət tapılır.

Buna analoji olaraq analizdə, verilən xassələrinə görə axtarılan funksiyanın tapılması üçün həmin funksiya və onun xassələrini göstərən kəmiyyətlərlə əlaqədar tənlik qurulur. əgər bu tənlik axtarılan funksiya ilə onun hər hansı tərtib törəməsi və ya diferensialı arasında əlaqə yaradırsa, onda belə tənliklərə Diferensial tənlik deyilir.

Diferensial tənliklər nəzəriyəsi XVII əsrin axırlarında mexanika və fizika məsələlərin həlli ilə əlaqədar olaraq yaranmışdır. Sadə diferensial tənliklərə hələ Nyuton və Lebnisin əsərlərində rast gəlinirdi. Klassik diferensial tənliklər nəzəriyyəsi isə ayrıca bir fənn kimi XVIII əsrdə yaranmışdır.

Diferensial tənliklər adi və xüsusi törəməli tənliklərə bölünür: birqiymətli funksiyanın törəmələri daxil olan adi diferensial tənliklər, çoxdəyişənli funksiyanın xüsusi törəmələri daxil olan xüsusi törəməli diferensial tənliklər. Biz burada əsasən adi diferensial tənliklərə baxacağıq.

Tərif: Sərbəst dəişən x, axtarılan funksiya y=y(x) funksiyası və onun törəmələri arasındadakı qeyri aşkar şəkildə verilmiş

F(x, y, )=0 (1)

Şəklində münasibətə n-tərtibli adi diferensial tənlik deyilir.Diferensial tənliyə funksiyanın törəmələrinin daxil olması vacibdir.Bu tənliyə daxil olan törəmənin ən yüksək tərtibinə diferensial tənliyin tərtibi deyilir.

Tənliyin (a,b) intervalında həlli elə y= funksiyasına deyilir ki,u funksiyanın tənliyə daxil olan tərtibdən törəmələri olsun,özünü və törəmələrini tənlikdə yazdıqda alınan bərabərlik -ə nəzərən eynilik kimi ödənsin,yəni

.

Xüsusi halda n=1 olduqda

F(x,y, )=0 (2)

Bərabərliinə qeyri aşkar şəkildə verilmiş birtərtibli adi diferensial tənlik deyilir. Baxdığımız kəmiyyətlərin alnız həqiqi (sonlu) qimətlər aldığını,baxdığımız funksiyanın isə həm də birqiymətli olduğunu hesab edəcəyik.

Adi diferensial tənliklərə bir çox həndəsi, fiziki, təbiət elmləri məsələləri gətirilir. Aşağıdakı məsələlərə baxaq:

1. Elə əyri tapın ki, hər bir nöqtəsində ona çəkilmiş toxunanın koordinat oxları arasında yerləşən parçası toxunma nöqtəsində yarıya bölünsün.

Həlli:Tutaq ki, M(x,y) əyrinin tələb rdilən xassəyə malik olan ixtiyari nöqtədir.

AM=MB. OAB üçbucağından alırıq:

=tgBAO, OA=2x, OB=2y, tgBAO=-tgBAx olduğundan adi adi diferensial tənliyini alarıq. Bu tənlii həll etsək xy=c əyrisi alınar.

2. Kütləsi m olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın müqavimətin nəzərə almadan nöqtənin hərəkə qanunu tapılmalı.

Həlli: Hərəkət edən nöqtəyə təsir edən F qüvvəsi, onun hərəkətinin a təcili vasitəsilə

F=ma (3)

kimi tapılır(Nutonun ikinci qanunu).Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən F=P=mg olar.Hərəkət edən cismin təcili isə gedilən məsafənin zamana görə ikitərtibli törəməsi

a= (4)

olduğundan (3) bərabərliini

m+S(t)=mg və ya S(t)=g

kimi yazmaq olar.(g=981sm/ (4) bərabərliyi axtarılan s(t) funksiyasına nəzərən ikitərtibli diferensial tənlikdir. Yoxlamaq olar ki, bu tənliyin həlli

S(t)= (5)

Funksiyasıdır. Hərəkət edən nöqtənin başlanğıc sürəti S(0)= və başlanğıc məsafəsi S(0)=S məlum olduqda (5) funksiyasına daxil olan ixtiyari sabitlərini tapmaq olar.

Bu halda maddi nöqtənin hərəkət qanunu aşağıdakı kimi yazılır:

S(t)= + +S

3. Peçdən çıxarılarkən temperaturu 280 dərəcə olan cismin 40 dəqiqə ərzində 100 dərəcəyə qədər souur.Ətraf mühitin temperaturunun 10 dərəcə olduğunu bilərək,cismin soyuma qanunu tapın.

Həlli:Cismin t anındakı temperaturu T=T(t) olsa, onun soyuma sürəti olar. Nyuton qanuna əsasən, cismin həmin anda temperaturu ilə ətraf mühitin temperaturu fərqinə mütənasib, yəni

) (6)

Burada k mütənasiblik əmsalıdır. Beləliklə, baxılan məsələnin (6) adi diferensial tənliyinin həllinə gətirilir. Asanlıqla oxlamaq olar ki, istənilən C sabiti üçün

T=10+C (7)

Funksiyası (6) tənliyinin ( ) intervalında həllidir. Cismin t=0 anında temperaturu olduğundan (7) bərabərliyindən C-yə nəzərən tənliyini alarıq. Buradan C= və T= 

Məsələnin şərtinə görə cisim 40 dəqiqə -dən -ə qədər souyur,yəni t=40 dəqiqə olduqda T= olur. Bunu (7) düsturunda nəzərə alsaq, k parametrini tapmaq üçün

+

Tənliyini alarıq. Buradan

=

Beləliklə, Cismin t anında temperaturu

T= + (8)

düsturu ilə təyin olunur.

Fizika və mexanikanın bir çox proseslərinin riyazi modalı qurularkən bu prosesi xarakterizə edən kəmiyyətlər arasında birbaşa asıllıq almaq mümkün olmur. Lakin axtrarılan naməlum funksiyanın bu və ya digər tərtibdən törəməsi və ya difernsiyalı ilə yerdə qalan kəmiyyətlər arasında asılılıq yaratmaq mümkün olur. Bu asılılıqlardan doğan tənliyə naməlum funksiyanın törəməsi daxil olduğundan belə tənliklər diferensial tənliklər adlanır. Məsələn, fizika kursundan məlumdur ki, radioaktiv maddənin parçalanma surəti onun kütləsi ilə düz mütanasibdir. Maddənin kütləsini m (t) ilə işarə edib törəmənin fiziki mənasını nəzərə alsaq:

tənliyini almış olarıq (1) tənliyinə axtardığımız m (t) funksiyasını I tərtib törəməsi daxil olduğuna görə onu diferensial tənlik adlandıracağıq.