Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»
Yüklə 0,61 Mb.
|
| Tərif. Sərbəst dəyişən, onun axtarılan naməlum funksiyası və hökmən naməlum funksiyanın hər hansı tərtibdən törəməsi və ya diferensialı daxil olan tənliyə diferensial tənlik deyilir.
Diferensial tənliklər əsasən iki qrupa bölünür. Əgər axtarılan funksiya birdəyişənli funksiya isə belə tənliyə adi diferensial tənlik, əgər axtarılan funksiya çoxdəyişənli funksiya isə tənliyə bu funksiyanın bir neçə dəyişənə nəzərən xüsui törəmələri daxildirsə, belə tənliyə xüsusi törəməli tənlik deyilir. Biz əsasən adi diferensial tənlikləri öyrənəcəyik. Qeyd etmək lazımdır ki, burada adi sözünün dar mənada yox, anlayış kimi, termin kimi başa düşmək lazımdır. Diferensial tənliyə daxil olan törəmələrdən tərtibi ən yüksək olan tərtibinə diferensial tənliyin tərtibi deyilir. Tərif. Sərbəst dəyişənin müəyyən aralıqdan götürülmüş istənilən qiymətlərində diferensial tənliyi eyniliyə çevirən funksiyaya diferensial tənliyin həmin aralıqda həlli deyilir. Funksiyası ( ) intervalında (1) diferensial tənliyinin həllidir. Doğurdan da, Olduğunu nəzərə alsaq və (1) tənliyində yerinə yazaq: Eyniliyini almış olarıq. Burada həll adlandırdığımız t funksiyası ixtiyari c sabitindən asılıdır c-yə istənilən həqiqi qiymətlər verməklə alınan hər bir funksiya (1) tənliyini həlli olacaqdır. Gələcəkdə görəcəyik ki, (1) tənliyinin həlli ola biləcək istənilən funksiya c sabitinə müəyyən qiymət verməklə Tənliyində funksiya olacaqdır. Ona görə də c parametrindən asılı olan tənliyinin ümumi həlli adlanır. Başqa sözlə ümumi həll və yaxud ümumi inteqral diferensial tənliyi ödəyə biləcək bütün funksiyalar çoxluğunu əhatə edən funksiyalar ailəsinə deyəcəyik. Diferensial tənliyin c-nin hər hansı bir konkret qiymətində tapılan həllinə fərdi həll deyilir. Diferensial tənliyin həllinin axtarılması deyilir. Diferensial tənliyin həlli olan funksiyasının qrafikinə inteqral əyrisi deyəcəyik. Kurs: III Fənn: Adi diferensial tənliklər Ədəbiyyat siyahısı: 1. Q.Əhmədov, K.Həsənov, M.Yaqubov. Adi diferensial tənliklər. Maarif, Bakı, 1978. 2. H. Aslanov. Adi diferensial tənliklər və riyazi fizika tənlikləri. Bakı, 2001. 3. M.A.Dünyamalıyev, M.Y.Babayev, M.S. Aslanov. Adi diferensial tənliklər ( Dərs vəsaiti ) . Bakı, 2012. 4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», 2000, 176 с. 5. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- Минск: Вышэйшая школа, 1974. 6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1958. Əlavə: 1. R. Məmmədov. Ali riyyaziyyat kursu, I, II hissə, Bakı, 1984. 2. V.M. Musayev, S.H.Qasımov. Adi diferensial tənliklər ( məsələ və misallar ). Bakı, 2008. 3. И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики. Санкт- Петербург, 2001. 4. К.Л.Лунгу, Д.Т.Письменный, В.П.Федин, Ю.А.Шевченко.Сборник задач по высшей математике. 2 курс, - 5 - е изд. –М.:Айрис-пресс,2007.–592с.:ил.– (Высшее образование). 5. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1980. – 365с. Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu sahil.liyev.83@mail.ru Mövzu 2: Birtərtibli diferensial tənliklər. Koşi məsələsi koşi məsələsinin həllinin varlığı və yeganəliyi. Sadə üsulla inteqrallana bilən diferensial tənliklər. Plan:
Aşkar şəkildə verilmiş diferensial tənliyin oblastda həlli. Koşi məsələsi və onun yeganəliyi. Diferensial tənliyin ümumi həlli. Diferensial tənliyin xüsusi və məxsusi həlləri. Sadə üsullarla inteqrallana bilən diferensial tənliklər. Adi diferensial tənliklər nəzəriyyəsində əsasən ən yüksək tərtib törəməyə nəzərən həll olunmuş diferensial tənliklərə və ya aşkar şəkildə verilmiş y(n)=f (x, y, yʹ,yʹʹ, ..., y(n-1))=0 (1) xüsusi halda n=1 olduqda yʹ= f (x,y) (2) Şəklində diferensial tənliklərə baxılır. (1) və (2) yazılışları diferensial tənliklərin normal şəkildə yazılışı adlanır. Hələlik törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli (2) şəklində adi diferensial tənliyə baxaq və onun üçün diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin əsa anlayışlarını verək. (2) tənliyini həmişə = f (x,y) (2) Şəklində yazmaq olar, burada f(x,y) hər hansı D oblastında öz arqumentlərinin verilmiş funksiyasıdır, bu oblastda birqiymətli və kəsilməz olması fərz edilir. Oblast dedikdə, aşağıdakı iki şərti ödəyən boş olmayan D nöqtələr çoxluğu başa düşülür; D açıq çoxluqdur, yəni onun bütün nöqtələri daxili nöqtələrdən ibarətdir, başqa sözlə desək, onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən ətrafı ilə birlikdə bu çoxluğa daxildir; D çoxluğu əlaqəli (rabitəli) çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə D-nin daxilində yerləşən və təşkiledicilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar Deməli, açıq və rabitəli çoxluğa oblast deyilir. D oblastı öz sərhəddi ilə birlikdə qapalı oblast adlanır və ilə işarə olunur. Əgər (a,b) intervalında diferensialanan y= (x) funksiyası: (x, (x)) D, x (a,b), 2) (x)= f(x, (x)), x (a,b) şərtlərini ödəyirsə, onda həmin funksiyaya (2) tənliyinin (a,b) intervalında həlli və ya inteqralı deyilir. Bir çox hallarda diferensial tənliyin həllini qeyri aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur. Əgər (x,y) = 0 (3) bərabərliyindən qeyri aşkar funksiya kimi təyin olunan y= (x) funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin qeyri aşkar şəkildə həlli deyilir. Tutaq ki, parametrik şəkildə x= (t), y=ψ(t), t ( ) (4) verilmiş və hər bir t ( ) üçün:
( t), (t)) D, 2) sonlu xʹ= ʹ(t), yʹ=ψʹ(t), ( ʹ(t) 0) törəmələri var; 3) = f[ ] olur. Onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin ( ) intervalında parametrik şəkildə həlli deyilir. Diferensial tənliyin həllinin qrafikinə inteqral əyrisi deyilir. Diferensial tənliklər nəzəriyyəsinin əsas məsələsi verilmiş diferensial tənliyin bütün həllərini axtarmaqdan və onların xassələrini öyrənməkdən ibarətdir. Diferensial tənliyin həllinin tapılması prosesinə həmin tənliyini inteqralanması və ya kvadraturaya gətirilməsi deyilir. Qeyri müəyyən inteqral alma əməliyyatı kvadratura adlanır. Yüklə 0,61 Mb. Dostları ilə paylaş:
|