Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»

Ümumiləşmiş bircins diferensial tənliklər.

Tərif 1: F(tx, t^my, t^m-1yʹ)=t^mF(x,y,yʹ) bərabərliyi ödəndikdə, F(x,y,yʹ)=0 tənliyinə ümumiləşmiş bircinsli diferensial tənlik deyilir.

Diferensial tənlik simmetrik formada

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

şəklində verildikdə aşağıdakı kimi də tərif vermək olar.

Tərif 2: Fərz edək ki, elə m ədədi var ki, x,y,dx,dy kəmiyyətləri uyğun olaraq 1, m, 0, (m-1) dərəcəli bircins kəmiyyətlər olduqda tənliyinin sol tərəfi bu kəmiyyətlərə nəzərən bircinsli funksiya olur. Onda (1) tənliyi ümumiləşmiş bircins diferensial tənlik adlanır.

m ədədinin tapılması üçün verilən tənlikdə

x→tx, y→t^my, dx→t⁰dx, dy→t^m-1dy

əvəzləməsi aparılır, sonra tənliyə daxil olan hədlərin üstləri bərabərləşdirilir.

Bu halda m-ə nəzərən tənliklər sistemi alınır, əgər bu sistem uyuşandırsa, baxılan tənlik göstərilən mənada bircins tənlikdir, əks halda isə yox. Tənlik ümumiləşdirilmiş bircins olduqda y=z^m əvəzləməsi onu bircinsli tənliyə, y=xz^m əvəzləməsi isə dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənliyə gətirir.

Onu da qeyd edək ki, m=1 olduqda ümumiləşmiş bircins tənlik adi bircins tənlik, m=0 olduqda isə dəyişənlərinə ayrılan diferensial tənlik olur.

Misal. 2x⁴yyʹ+y⁴=4x⁶ tənliyinə baxaq x→tx, y→t^my, yʹ→t^m-1yʹ əvəzləməsi aparsaq,

2t⁴x⁴t^myt^m-1yʹ+t^4my⁴=4t⁶x⁶

Hədlərinin üstlərinin bərabər olması üçün

Olmalıdır.

4+2m-1=4m, 2m=3, m= , 4m=6, m=

4+2m-1=6, 2m=6-4+1=3, m=

Deməli, m-ə nəzərən tənliklər uyuşandır. y=z^m=z^3\2 əvəzləməsi verilən tənliyi bircins tənliyə y=xz^3\2 əvəzləməsi isə dəyişənlərinə ayrılan tənliyə gətirir.

Kurs: III

Fənn: Adi diferensial tənliklər

Ədəbiyyat siyahısı:

1. Q.Əhmədov, K.Həsənov, M.Yaqubov. Adi diferensial tənliklər. Maarif, Bakı, 1978.

2. H. Aslanov. Adi diferensial tənliklər və riyazi fizika tənlikləri. Bakı, 2001.

3. M.A.Dünyamalıyev, M.Y.Babayev, M.S. Aslanov. Adi diferensial tənliklər ( Dərs vəsaiti ) . Bakı, 2012.

4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическаядинамика», 2000, 176 с.

5. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.- Минск: Вышэйшая школа, 1974.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Москва, 1958.

Əlavə:

1. R. Məmmədov. Ali riyyaziyyat kursu, I, II hissə, Bakı, 1984.

2. V.M. Musayev, S.H.Qasımov. Adi diferensial tənliklər ( məsələ və misallar ). Bakı, 2008.

3. И.П.Натансон. Краткий курс высшей математики. Санкт- Петербург, 2001.

4. К.Л.Лунгу, Д.Т.Письменный, В.П.Федин, Ю.А.Шевченко.Сборник задач по высшей математике. 2 курс, - 5 - е изд. –М.:Айрис-пресс,2007.–592с.:ил.– (Высшее образование).

5. П.Е.Данко, А.Г.Попов, Т.Я.Кожевникова. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. II: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1980. – 365с.

Müəllim: Sahil Əliyev Asif oğlu [e-mail]

Mövzu: 4 Birtərtibli xətti diferensial tənlik. Bernulli tənliyi.

P L A N

1. 
   Birtərtibli xətti diferensial tənliyin y= u v əvəzləmə üsulu ilə həlli
   
2. 
   Birtərtibli xətti diferensial tənliyin variasiya üsulu ilə həlli
   
3. 
   Birtərtibli xətti tənliyinin həlli üsulu
   

1.