Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»

Bircins tənliklər.

Əgər

t-nin istənilən qiymətlərində

şərtini ödəyirsə, ona bircinslik tərtibi m olan bircins ifadə deyilir.

Məsələn,

ifadəsinə baxaq. Onda

Deməli baxılan ifadə bircinslik tərtibi 3 olan bircins ifadədir.

Tutaq ki, törəməyə nəzərən həll edilmiş

(1)

Tənliyinin sol tərəfi bircinslik tərtibi 0 olan bircins funksiyadır. Yəni,

yazsaq,

alarıq. Onda (1) tənliyini

və yaxud (2)

şəklində yaza bilərik.

əvəzləməsi aparsaq, onda

y=ux,

bunları (2)- də nəzərə alsaq:

və yaxud

olduqda

(3)

dəyişənlərə ayrılmış tənliyi alarıq (3) tənliyini inteqrallayıb

(4)

ümumi inteqraında

yazsaq (1) tənliyinin ümumi inteqralını almış olarıq.

Biz yuxarıda qeyd etdik ki,

Olduqda bu işi davam etdirib bura çıxmaq olar.

Əgər

olarsa, onda

Tənliyini alarıq. Bu dəyişənlərinə ayrılan tənliyi həll etsək

Tənliyini almış olarıq. Qeyd etmək lazımdır ki, bir qrup diferensial tənliklər sinifi müəyyən əvəzləmələrin köməyi iləbircins tənliyə gətirilə bilir. Belə tənliklərin bəzi nümunələri ilə tanış olaq.

Belə olduğu halda bu tənlik üçün

ax+by=z

əvəzləməsi aparaq. Onda

alar. Tənlikdə nəzərə alsaq:

almış olarıq

və yaxud

dəyişənlərinə ayrılmış tənliyi alarıq

2.

Burada müxtəlif hallar mümkündür.

I hal. olarsa verilən tənlik bircins tənlikdir.

II hal. Tutaq ki, dən, lakin

Xətti tənlikləri ilə təyin olunmuş düz xətlər bir-birinə paraleldir. Onda düz xətlərin paralellik əlamətinə görə

olur. Onda

əvəzlənməsi köməyi ilə verilən tənliyi dəyişməklə ayrılan tənliyə gətirmək mümkündür.

III hal. Tutaq ki, kəsrin surət və məxrəcinin təyin etdiyi düz xətlər paralel deyil. Bu zaman paralel köçürmənin köməyi ilə koordinat başlanğıcını həmin düz xətlərin kəsişmə nöqtəsinə köçürmək kifayətdir. Yəni əgər kəsişmə nöqtəsi (a,b) nöqtəsidirsə,

əvəzləməsi aparmaq lazımdır. Buradan

olduğunu nəzərə alıb. Verilən əvəzləməni tənlikdə yerinə yazsaq:

buradan

tənliyini alırıq. Bu bircins tənliyin ümumi həllini tapıb, əvəzləmələri nəzərə alsaq bizə verilən tənliyin ümumi həllini almış olrıq

3. diferensial tənliyi analoji olaraq II tip tənliyin hansı halına uyğun gəlirsə, həmin qayda ilə həll edilir.