Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: ниц «Регулярная и хаотическаядинамика»

Koşi məsələsi. Diferensial tənliklər nəzəriyyəsində əsas məsələlərdən biri də Koşi məsələsidir. (2) tənliyi üçün Koşi məsələsi aşağıdakı kimi qoyulur:

(2) tənliyinin həlləri içərisindən elə y= (x) həllini tapırıq ki, x arqumenti x=x₀ ədədi qiymətini aldıqda y=y(x)= (x) funksiyası verilən y₀ ədədi qiymətini alsın olsun. Belə ki, y=y(x) həlli

x=x₀ olduqda y(x₀)=y₀ (5)

şərtini ödəsin . X₀-a asılı olmayan dəyişənin başlanğıc qiyməti, y₀ ədədinə isə axtarılan funksiyanın başlanğıc qiyməti, y₀=y(x₀)= (x₀) başlanğıc şərti, x₀, y₀ ədədlərinə başlanğıc qiymətlər və ya Koşi məlumları deyilir. Verilmiş (x₀,y₀) D nöqtəsi üçün

yʹ=f(x,y)

y(x₀)=y₀ (6)

Şərtini ödəyən y=y(x)= (x) həllinin tapılması məsələsinə Koşi məsələsi deyilir. Koşi məsələsini həndəsi olaraq D oblastının (x₀, y₀) D nöqtəindən keçən inteqral əyrisi tapmaq deməkdir.

Koşi məsələsi (1) tənliyi üçün aşağıdakı kimi qoyulur: (1) tənliyinin

(7)

başlanğıc şərtini ödəyən y= (x) həllini tapın.

Fərz edək ki,y= (x)funksiyası [x₀-h, x₀+h] parçasında (2) tənliyinin y(x₀)=y₀ başlanğıc şərtini ödəyən istənilən y=ψ(x) həlli üçün elə ədədi varki, (x₀-h, x₀+h) intervalında olur. Onda deyirlər ki, (2) tənliyinin y(x_n)=y_n başlanğıc şərtini ödəyən həlli və ya (x_n,y_n) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisi yeganədir. Əks halda (2)-(6) Koşi məsələsinin həllinin yeganəliyi pozulur.

3. Ümumi həll. (2) tənliyinin həllinin yeganəliyi saxlanılan makimal oblastı G ilə işarə edək (G⊂D), yəni G oblastının hər bir nöqtəsindən (2) tənliyinin yeganə inteqral əyrisi keçir və D oblastının bu xassəyə malik olan bütün nöqtələri G-yə daxildir

Tutaq ki, ixtiyari C sabitindən asılı

y= (x, C) (8)

ailəsi verilmişdir və 1) hər bir (x,y) G nöqtəsi üçün (8) tənliyi C-yə nəzərən həll olunandır:

C=ψ(x,y) (9)

2) (x,y) nöqtəsi G oblastında dəyişdikdə, C sabitinin (9) düsturu ilə təyin olunan hər bir qiymətində (8) funksiyası (2) tənliyinin həllidir. Onda (8) funksiyasına həmin tənliyin G oblastında ümumi həlli C-nin (9) düsuturu ilə təyin olunan qiymətlərinə isə mümkün qiymətlər deyilir. Tənliyin ümumi həlli qeyri aşkar (x,y)=C şəklində verildikdə (x,y)-ə tənliyin inteqralı, (x,y,C)=0 və ya (x,y)=C-yə isə ümumi inteqralı deyilir. Tənliyin y= (x,C) ümumi həlli məlum olduqda Koşi məsələsinin həllini almaq üçün y₀= (x₀, C) bərabərliyini C-yə nəzərən həll edib, C=C₀ tapırıq və C₀ qiymətini ümumi halda yazırıq:y= (x,C₀).

Ümumi həlli qeyri aşkar (x,y,C) =0 şəkildə verildikdə Koşi məsələinin həllini tapmaq üçün (x_n,y_n, C) tənliyinin C₀ həllini tapırıq (x,y, C₀) =0 Koşi məsələsinin qeyri aşkar şəkildə həlli olur.

4.Xüsusi həll. Tutaq ki, y= (x) funksiyası (a,b) intervalında (2) tənliyinin həllidir. Əgər hər bir x (a,b) üçün (x, (x)) nöqtəsindən keçən inteqral əyrisi yeganədirsə y= (x) həllinə (2) tənliyinin xüsusi həlli deyilir. Tərifdən aydındır ki, C sabitinin hər bir qiymətində ümumi halda alınan həlli xüsusi həldir.