Ko’paytma qoidasi. Chekli to’plamlarning dekart ko’paytmasi elementlari sonini topishga imkon beradigan qoida ko’paytma qoidasi deyiladi.A = {a1, a2, …, an} va B = {b1,b2, …, bm} to’plamlar elementlaridan nechta tartiblangan (ai, bj.) juftlik tuzish mumkinligini ko’raylik. Barcha juftliklarni tartib bilan quyidagicha joylashtiramiz:
Bu jadvalda n ta qator va m ta ustun bo’lib, undagi barcha juftliklar soni n·mga teng. Bu yerda n = n(A) va m = n(B).Ko’paytma qoidasi n(A×B) = n(A)∙n(B) ko’rinishda yoziladi. Umumlashgan ko’paytma qoidasi: «Agar x elementni m usul bilan, y elementni, x ni tanlab bo’lgandan so ‘ng, n usul bilan tanlash mumkin bo’lsa, (x;y) juftlikni mn usul bilan tanlash mumkin».
Masala. Nechta turli raqamlar bilan yozilgan ikki xonali sonlar bor?Yechish. 1-raqamni 9 usul bilan (1, 2, …, 9), 2-raqamni ham 9 usul bilan (noldan boshlab o’nliklar raqamidan boshqa raqamlar) tanlash mumkin. Hammasi bo’lib 9·9 = 81 ta shunday son bor ekan.
70
Takrorlanuvchi va takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar haqida tushuncha bering.
Faraz qilaylik, melementli X ={a1,a2,a3,…,am}to’plamdan ketma-ket elementlar tanlanmoqda, tanlangan element to’plamga qaytarilmaslik sharti bilan. Bu holda k o’rinli (b1, b2,…,bk) kortej hosil bo’ladi va bu yerda har bir bi biror aj ga teng bo’ladi.
Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k -elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni
m(m -1)(m - 2) ·... · (m - k +1)
ko’paytmaga teng. U bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan o’rinlashtirishlar soni deb ataladi:
Takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar. 1. Agar chekli X to’plam elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo’lsa, X to’plam tartiblangan deyiladi.
Masalan, X= {x1, x2,…,xm}. Bitta to’plamni turli usullar bilan tartiblash mumkin.
Masalan, sinf o’quvchilarini yoshiga, bo’yiga, ogirligiga qarab yoki o’quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo’yicha tartiblash mumkin.
m elementli X to’plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan savolga javob beraylik.
Tartiblash — bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni m ta elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun
1-elementni m usul bilan, 2-elementni 1-element tanlanib bo’lgandan so’ng m -1 usul bilan tanlash mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblashlarning umumiy soni
m(m -1)(m -2)·... ·2·1= m! ga teng.
m! — dastlabki m ta natural son ko’paytmasi (m faktorial deb o’qiladi). Masalan, 5!= 1·2·3·4·5 = 120, m! = Pm bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan o’rin almashtirishlar soni deb ataladi.
O`rin almashtirishlarni o`rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash mumkin bo`lgan holi.
71
O’rin almashtirishlar va ularga misollar keltiring.
O`rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari:
ta’rif bo`yicha!
1-ta’rif. -elementli to’plamni turli tartiblashtirishlar takrorsiz o`rin almashtirishlar deyiladi, ularning soni deb belgilanadi va gateng. Ta’rifbo`yicha deb olinadi
– fransuzcha “ermutation” – so`zidan olingan bo`lib, “o`rinalmashtirish” degan ma’noni bildiradi.
Masalan, uchta harfdan 3! = 6 ta o`rin almashtirish qilish mumkin .
72
Gruppalashlar va ularning xossalari haqida tushuncha bering.Misollar keltiring.
M elementli X to’plamning nechta k elementli qism to’plamlari bor?» — degan masalani hal qilaylik.
Masalan, 4 elementli A = {a; b; c; d) to’plamning nechta 3 elementli qism to’plami borligini ko’raylik. Ular{a;b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}. Demak, 4 ta shunday qism to’plam bor ekan. Bunday qism to’plamlar takrorlanmaydigan guruhlashlar deb ataladi. Bu qism to’plamlarni tartiblaganda 6 barobar ko’proq 3 o’rinli kortejlarga ega bo’lamiz.
Masalan, {a; b; c} ni tartiblasak: (a; b; c), (a; c; b), (b; a; c), (b; c; a), (c; a; b), (c; b; a) tartiblangan uchliklarga ega bo’lamiz, tartiblanishlar soni 3! = 6 marta ko’p. Bu bog’lanishdan foydalanib, guruhlashlar sonini topish formulasini keltirib chiqarish mumkin.
m elementli to’plamning k elementli qism to’plamlari soni bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni deyiladi. (C — fransuzcha combinaison — «birikma» so’zidan olingan.) Takrorlanmaydigan guruhlashlar soni uchun
