TüRKÇe turkçe I cümlede Anlam ve Cümlede Anlatım

2 ile Bölünebilme

Birler basamağı çift olan {0, 2, 4, 6, 8} doğal sayılar 2 ile tam bölünebilir.

ÖRNEK:

2426 sayısı 2'ye tam olarak bölünebilir mi?

Birler basamağındaki 6 çift sayı olduğundan 2 ile tam bölünebilir.

ÖRNEK:

1257 sayısı 2'ye tam bölünebilir mi?

2 ile kalansız olarak bölünmez. Çünkü 7 rakamı 2'nin katı değildir ve çift sayı olmadığından 2'ye kalansız böiünmez.

ÖRNEK:

Dört basamaklı (123a) sayısının rakamları farklıdır.

Bu sayı iki ile tam bölünebildiğine göre, a rakamının alacağı değerler toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

12 3a => a'nın değeıieri toplamı: 0+4+6+8 =18 olur. 0 4 ₆ 8

-MATEMATIK-

31


3 ile Bölünebilme

Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ve 3'ün katı olan sayılar 3'e kalansız (tam) olarak bölünür.

Örnegin: 126 => 1 +2 + 6 = 9 (3'ün katı olduğu için 3'e tam bölünür.)

1994 => 1 + 9 + 9 + 4 = 23 (3'ün katı olmadığı için 3'e tam bölünmez.)

ÖRNEK:

(aa5) üç basamaklı sayıdır. Bu sayı 3 ile tam bölüne-bildiğine göre, a nın kaç farklı değeri vardır?

ÇÖZÜM:

a + a + 5 = 3k, (k e N)

ai=2] ..

2a + 5 = 3k => a₂ = 5 > Uç farklı değeri vardır. a₃=8j

ÖRNEK:

3 ile bölündüğünde 2 kalanmı veren iki basamaklı doğal sayılar kaç tanedir?

ÇÖZÜM:

3 ile bölünenler 3.k, (k e N)

12,15,18, ...96, 99

2 kalanını verenler 3k + 2, (k e N)

11, 14, 17 98 (101 üç basamaklı olduğu için

alınmaz)

98-11

Terim sayısı:

4 ile Bölünebilme:

+1 = 30 olur.

Sayının son iki basamağı 77 dir. Sayının 4 ile bölü-mündeki kalan 77 nin 4 ile bölümündeki kalandır.

77

19

0 halde kalan 1 'dir.

37

_36_

2

5 ile Bölünebilme

Birler basamağı 0 ya da 5 olan sayılar 5 ile kalansız olarak bölünür.

ÖRNEĞİN;

5'e bölünür. 5'e bölünür. 5'e tam bölünmez.

290 -> Birler basamağı 0 -> 385 -> Birler basamağı 5 -> 383 -> Birler basamağı 3 ->

ÖRNEK:

(27ab) dört basamaklı sayısı 4 ve 5 ile bölünebildiği-ne göre, a nın alacağı değerler nelerdir?

ÇÖZÜM:

Verilen sayı hem 4 ile hem de 5 ile bölündüğüne göre b = 0 olur.

Bu durumda aO = 4k, (keN) a₁₌0

a₂=2

Beş farklı değer alır.

a₄=6 a₅=8 J


Birler ve onlar basamağındaki rakamların oluşturduğu sayı yani son iki basamağı 4'ün katı olan veya 00 olan sayılar 4 ile kalansız bölünebilir.

ÖRNEĞİN;

2400 -» 00 sayısı kurala uyduğu için sayı 4 ile bölü-nür.

6204 -* 04 sayısı 4'ün katıdır. Sayı 4 ile tam bölünür. 5326 -> 26 4'ün katı olmadığı için 4'e tam bölünmez. ÖRNEK:

20 basamaklı 777...77 sayısının 4 ile bölümünden kalan kaçtır?

ÇÖZÜM:

7 ile Bölünebilme

Sayının birler basamağından başlamak üzere, sağdan sola doğru (1, 3, 2), (-1, -3, -2) sayılarıyla çarpılıp top-lanır; elde edilen sayı 7 ye bölünürse ilk sayı da 7 ile bölünür.

ÖRNEK:

2+15+2 = 7k, (keZ⁺)

15 = 7k 7 ile bölümünden kalan 1 dir.

4152 => 4 15 2:

v y y y

-12 31 ÖRNEK:

r>-6-3-5+8+6+9 Bu sayının 7 ile bölümünden kalan 2 dir.

315429 => 3 1 5 4 2 9 _: -2-3-1 2 3 1

ÖRNEK:

32-

-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-

9A25 sayısı 7 ile tam bölünebildiğine göre A kaç olur?

ÇÖZÜM:

k = 2 için => 2A + 2 = 14 2A = 12

A = 6 olur.

9 A 2 5^-9₊2 ^ ^^ ~¹²³¹

7 54 6

■*■ ■*■ v v

ÖRNEK:

2 17 6

\. l -1 i

11'ebölünür.

_2₌ 9=î>1i'ebölümündenkalan 9dur.


8 ile Bölünebilme

Son üç rakamı 000 ise 8 ile tam bölünür. 34000 -» Son üç rakamı 000 olduğu için 8'e bölünür. ÖRNEK:

82A sayısı 8 ile tam bölünebildiğine göre A kaç olabi-lir?

ÇÖZÜM:

82A = 8k,(keN) 800 + 2A = 8 k

24 ve A = 4 olabilir.

9 ile Bölünebilme:

Rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 ve 9'un katı oian sayılar 9'a tam bölünür.

135-*1+3 + 5 = 9=> 9'un katı bölünür. 281 ->• 2 + 8 +1 = 11 => 9'un katı değil tam bölünm^z. ÖRNEK:

23x2 sayısının 9 ile bölümünden kalan 8 olduğuna göre x kaçtır?

ÇÖZÜM:

23x2 => 2 + 3 + x + 2 = 9k + 8, (keN)

x-1 = 9k=>x = 1 olur.

11 ile Bölünebilme

Sağdan (birler basamağı) başlamak üz^re bir toplama bir çıkarma işlemi yapılır. Elde edilen sayı 11'in katı ise, sayıda 11 'e bölünür.

a bcd =a + b-c + d = 11 . k(keN) 14-^4^ b + d-(a + c) = 11.k

ÖRNEK:

ÖRNEK:

1K3L sayısı 11 ile tam bölündüğüne göre K+L toplamı kaç farklı değer alabilir?

ÇÖZÜM:

1 K3 L =>-1+K-3 + L=11 .k, (keN)

lill K + L-4= 11 . k

_ ₊ _₊ K + L = 4 veya K + L = 15 olabilir.

NOT:

• 
  10 ile bölünebilme: Birler basamağı 0 (sıfır) olan sa-
  yılar 10atam bölünür.
  
• 
  12 ile bölünen sayılar 3'e ve 4'e bölünürler.
  
• 
  15 ile bölünen sayılar 5'e ve 3'e bölünürler.
  

ASAL SAYILAR - OKEK - OBEB

Asal Sayılar:

Tanım 1: Bölenler kümesi iki elemanlı olan doğal sayılara "Asal sayılar" denir.

Tanım 2: 1 ve kendinden başka bir saytya bölünmeyen sayılara "Asal sayılar" denir.

En küçük asal sayı 2'dir. 2 hariç tüm asal sayılar tektir. Bazı doğal sayıları birçok sayının çarpımı biçiminde yazabiliriz. Bu sayılar verilen doğal sayının çarpanları ya da bölenleri olur.

Silgi Nobı /

NOT: 1B = {B} olduğundan 1 asal sayı değildir. 2B = {1,2} olduğundan 2 asal sayıdır. 3B = (1, 3} olduğundan 3 asal sayıdır.

4B = {1, 2, 4} 3 böleni olduğundan 4 asal sayı değil-dir.

5B = {1,5} olduğundan 5 asal sayıdır. Bir sayının asal sayı olabilmesi için {a, b} kümesinin en az ve en fazla 2 elemanı olması gerekir. Asal sayılar

kümesi {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, } şeklinde devam

eder.

-MATEMATIK-

33

Örneğin; 24 sayısını ele alalım.

24=1. 24 = 2. 12 = 3. 8 = 4. 6 = 2. 3. 4=1 . 2. 3 . 4 = 2³. 3 vb. gibi biçimlerinden biri ile göstermek müm-kündür.

Oysa 13 sayısını alırsak; 13 = 1 .13 olarak yazıiabilir. Yani 13'ün sadece iki böleni vardır.

Verilen Bir Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırmak

Tanım: x, y, z asal sayılar ve a, b, c e N⁺ ise ve bir A doğal sayısı A = x^a. y^b. z^c biçiminde yazılabiliyorsa x, y, z'ye A'nın asal çarpanları denir.

ÖRNEK:

= 2 . 32 . 5

36 ve 90 sayılarının asal çarpanlarını bulalım.

36	2
18	2
		= 22 . 32
9 3	3 3	u
1		Asal çarpanlar

Asal çarpanlar

1) Aralarında Asal Sayılar:

1. 
   den başka ortak tam böleni olmayan sayma sayılarına
   aralarında asaldır denir.
   
2. 
   ile 3 aralarında asaldır.
   4 iie 7 aralarmda asaldır.
   

4,5,6 aralarında asaldır. 10,12, 25 aralarında asaldır.

9, 12, 42 aralarında asal değildir. 1 böleninden başka 3 böleni de vardır.

* x ve y aralarında asal iki sayı olsun.

1. 
   Hem x, hem de y ile bölünebilen sayılar x.y ile de
   bölünebilir.
   
2. 
   x.y ile bölünebilen sayılar ayrı ayrı x ve y ile bölünebilir.
   

2) A sayma sayısı a, b, c farklı asal sayılar m, n p doğal sayılar olsun.

A = a^m. bⁿ. cp olarak yazılabiliyorsa:

1. 
   A nın pozitif tam bölenieri sayısı:
   (m+1). (n+1) (p+1)
   
2. 
   A nın tam bölenlerinin sayısı:
   

c) A nın pozitif tam bölenlerinin toplamı:

tn

O

cr

UJ Q

Q UJ

5-

T =

a-1 b-1 c-1

n| a

d) A nın tam bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır. 3) n! ifadesindeki a asal çarpanlarının sayısı:

(a

(z

(aişlemlerine göre x + y + z dir. ÖRNEK:

120 sayısının asal sayı olmayan pozitif çarpanlan kaç tanedir?

ÇÖZÜM:

120	2
60	2
30	2
15	3
5	5

120 = 2³.3¹.5¹ Pozitif çarpanları sayısı: (3+1). (1+1). (1+1) = 16 Asal çarpanları sayısı: 3 (2,3,5)

16-3 = 13 tane asa! sayı olmayan pozitif çarpanları vardır.

ÖRNEK:

9! sayısının pozitif tamsayı böleni kaç tanedir?

ÇÖZÜM:

9| 2 9| 3 9| 5 9| 7

R_2_ Fh M M

i_

_R

=> 9! = 2⁴⁺²⁺¹ . 3⁺¹ . 5¹ . 7¹

= 2⁹ . 3⁴ . 5¹ . V

(9+1). (4+1) (1+1) (1+1) = 10 . 5 . 2 . 2 = 200

pozitif tamsayı böleni 200 tanedir. ,

OBEB (Ortak Bölenlerin En Büyüğü)

Tamm: Verilen sayıiar asal çarpanlarına ayrıldıktan sonra, ortak bölenlerin üssü en küçük olanları çarpımına, bu sayıların OBEB'i denir.

Örnek 1: 210 ile 90'ın OBEB'ini bulalım.

210	90
105	45
35	15
35	5
7	1
1

2 . 3² . 5 . 7 buradan ortak bölenleri olan,

2 . 3 . 5 = 30 ortak bölen olarak bukınur.

34-

-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-


Örnek 2:

1. 
   60'ın pozitif bölenlerini yazalım;
   1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60
   
2. 
   48'in pozitif bölenlerinr yazalım;
   1,2,3,4,6,8,12,16,24,48
   

1. 
   60 ve 48'in ortak bölenleri;
   

1, 2, 3,4, 6,12==> OBEB (48, 60)= 12'dir.

OKEK (Ortak Katların En Küçüğü)

Tanım: Verilen sayı asal çarpanlarına ayrılır. Ortak olan-lardan üstü 9n büyük olan ile ortak olmayanların çarpımı-dır.

Orneki:

180 120

90

45

45

15

5

1

60 30 15

5 5 1

(D 2³. 3². 5 =>

2 Ortak bölenleri alırsak,

2 OKEK = 360 olur.

Örnek 2:

a) 12'nin pozitif tam katlarını yazalım;

12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,108,120,132,144,...

b) 15'in tam katlarını yazalım;

15, 30, 45, 60, 75, 90,105,120,135,150,165,...

c) 12 ve 15'in ortak pozitif katları;

60,120,180, 240,... => OKEK (12,15)=60'tır.

Rilgi Notv !

jOBEB'i bir olan sayılar, aralarında asal sayılardır. İki sayının OKEK'i İİ9 OBEB'inin çarpımı o sayıların çarpı-j mını verir. (a.b)oKEK. (a.b)oBEB = a.b'dir.

ÖRNEK:

12,15,18 sayılan bir Asayısını tam bölüyor.

12,15,18 sayılarını B tam bölüyor.

A V9 B doğal sayı iken A - B nin en küçük değeri kaç-

tır?

12 15 18 6 15 9 3 15 9 1 5 3 5 1

ÇÖZÜM:

A = (12,15, 18)okek = 2².3².5 = 180 B = (12,15, 18)obeb = 3 A-B = 180-3 = 177olur. ÖRNEK:

24 ve 64 sayılarına bölündüğünde 7 kalanını v^ren en küçük doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

A = 24x + 7 = 64.y + 7 A-7 = (24x64)okek = 192 A-7 = 192=5>A=199olur. Rakamları toplamı 1 + 9 + 9 = 19 dur. ÖRNEK:

Boyutları 256 m ve 304 m olan dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin kenarlarına eşit aralıklarla ağaç dikilecektir.

Köşetere de dikilmek koşuluyla en az kaç ağaç dikil-melidir?

ÇÖZÜM:

(256,304)obeb = 16

2 ^₊^= 2(16 + 19) = 70 olur.

304 16 ⁺ 16

ÖRNEK:


ORNEK:

Üç basamaklı sayılardan kaç tanesi 4,5, 6 sayıları ile tam bölünür?

ÇÖZÜM:

(4, 5, 6)okek =

= 60 4 5 6 2 5 3

1 5 3 5 1 1

Aradığımız sayıların en küçüğü 120 en büyüğü 960 dır.

960-120_{+ =} 840 ₌

60 60

tanedir.

60 kg nohut, 72 kg buğday 140 kg fasulye eşit ağır-lıkta ayrı ayrı paketlenecektir.

Enaz kaç paket yapılabilir? ÇÖZÜM:

(60,72, 140)obeb = 4

. , , 60 72 140 „ . Adet= —+—+— = 68 olur. 4 4 4

-MATEMATIK-

35






ÇOZUMLU KONU KAVRAMA TESTİ

1.

a²-a

Yukarıdaki bölme işlemine göre, b+1 in a türün-den ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

4. x, y, z sıfırdan farklı birer pozitif tamsayı olduğuna göre,

x ly	y	z
- .\T -		3
3	1
x in z türünden dir?	değeri aşağıdakilerden hangisi-
A) 12Z + 7 D) 4z + 1	B) E)	11z + 3 C) 6z + 3 3z + 2

A)	a	-	1	B)	a + 1
		a			a
D)	a	2	-1		E)

a²+1

a² + 2a

5. Üç basamaklı 84a sayısının 6 ile kalansız bölüne-bilmesi için, a kaç tane farkiı değer alabilir?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

cc

Q 6. V)

tn o.
2. Bir x doğal sayısı 3 e bölündüğünde bölüm a, kalan 1 -; dir. a sayısı 8 e bölündüğünde ise kalan 2 dir.

Buna göre, x doğal sayısı 24 e bölündüğünde kalan kaçtır?

E) 9 §

D) 8

A) 5 B) 6 C) 7

Al4

^B LL olduğuna göre, A'nın 12 —İC ile bölünmesi ile elde ¹ edilecek kalan kaçtır?

A) 3 B)5 C)6 D)8 E) 10

3. ab iki basamaklı bir sayı a ^ b olmak üzere,

ab | a + b T

7. A B

^c LL olduğuna göre, C'nin A —I ⁵ türünden eşiti aşağıdaki-⁴ lerden hangisidir?


olduğuna göre, a² + b² - 2ab nin değeri kaçtır?

A) 36 B) 16 C) 9 D) 4 E) 1

A) D)

5A-4

3 5A + 2

B) E)

5A + 4

2 5A-4

C)

2A + 6

36-

-GENEL YETENEK GENEL KÜLTÜR DERGİSİ-

C) 1001
8. abOab [ab olduğuna göre, x + k = ?

A) 101 D)1010

B) 110

E) 10010

13. a ve b birer pozitif tamsayıdır. 60 . a = b³ olduğuna göre, b en az kaçtır?

A)20 B)30 C)35 D) 40 E) 45


9. 3b24a6 sayısı 3 ile tam bölünebiliyor. Buna göre a + b ençok kaçtır? A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) 18

14. 60 sayısı hangi en küçük pozitif tam sayı ile çarpı-lırsa çarpım bir tamsayının karesine eşit olur?

A)3 B)5 C)6 D) 10 E) 15