Universidade estadual de campinas

Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica

E0388

ALGORITMOS DE OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL

Danilo Parra (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Ana Friedlander (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A otimização pode ser entendida como uma maneira hábil de identificar a melhor solução entre as inúmeras disponíveis. Otimização estrutural é um processo numérico/matemático que visa a obtenção de uma configuração da estrutura mecânica que resulta em um desempenho ótimo como, por exemplo, mínima massa, máxima rigidez, etc., e satisfazendo algumas restrições tanto sobre as variáveis de projeto quanto sobre o comportamento da estrutura (tensão de falha, freqüência natural crítica, etc.). Basicamente, um problema de otimização estrutural é desenvolvido em três etapas. Para resolver problemas de otimização estrutural podem ser aplicadas técnicas de programação não-linear usadas na solução de problemas em dois níveis. Esses problemas são assim chamados, pois dentro do problema principal temos um (ou mais) sub-problemas de minimização ou maximização. No caso de otimização estrutural, os sub-problemas são os que dizem respeito às restrições de equilíbrio e, essas restrições são fundamentais em otimização estrutural. Neste projeto de iniciação científica, estudaremos algoritmos de programação matemática desenvolvidos pelo Grupo de Otimização do Departamento de Matemática Aplicada do IMECC-UNICAMP. Os algoritmos que analisaremos são específicos para problemas em dois níveis e estão em fase de validação para o seu uso em otimização estrutural.

Otimização - Otimização estrutural - Cálculo variacional

E0389

ESTUDO DA TEORIA DE LIE DOS GRUPOS A UM PARÂMETRO (COM APLICAÇÕES ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS)

Christiane Buffo Rodrigues (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Antonio Carlos Gilli Martins (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A Teoria de Lie dos Grupos a um parâmetro tem importância na formulação de modelos, envolvendo equações diferenciais e na iniciação de pesquisa na Grupo-Análise, que se constitui na utilização de Grupos Contínuos de Transformações para a resolução de problemas de Análise ou Equações Diferenciais e é um método geralmente conhecido de descrição das simetrias dos modelos matemáticos contínuos. O estudo da teoria dos grupos a um parâmetro permite descobrir fatores integrantes de Equações Diferenciais Ordinárias que são invariantes pela ação do grupo. Aspectos geométricos e analíticos são utilizados para tal fim. De modo mais geral, o estudo viabiliza a classificação dos tipos de Equações Diferenciais Ordinárias de primeira ordem que ficam invariantes pela ação dos grupos de transformação no plano.

Grupos e álgebras de Lie - Equações diferenciais - Simetrias

E0390

EMPACOTAMENTO EM PALETES E CONTÊINERES E BIN PACKING

Kally Chung (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Antonio Carlos Moretti (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC,UNICAMP
O problema da otimização no carregamento de contêineres tem sido relativamente pouco tratado na literatura, ao contrário dos problemas de corte e de carregamento de paletes (Morabito e Arenales, 1999). Vários fatores importantes em situações práticas não têm recebido atenção suficiente na literatura. Entre eles, podemos citar: orientação das caixas dentro do contêiner, número de caixas que podem ser empilhadas umas sobre as outras; restrição de manuseio das caixas; estabilidade da carga; tecnologia dos equipamentos de manuseio (por exemplo, empilhadeira); limite de peso suportado pelo contêiner; distribuição de peso dentro do contêiner etc. Em geral, devido à dificuldade com a complexidade dos algoritmos exatos, muitas heurísticas têm sido propostas na literatura (Morabito e Arenales,1994, 1999). Uma das heurísticas mais conhecidas para carregamento de contêiner é a desenvolvida por George&Robinson (1980). Várias outras heurísticas envolvem a aplicação de uma versão deste método em pelo menos uma parte do carregamento (Bischoff et al, 1995).

Otimização - Contêiner - George&Robinson

E0391

TEORIA DE GALOIS: UMA INTRODUÇÃO

Celso Fernandes Araujo Filho (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Antonio José Engler (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A Teoria de Galois fornece uma conexão entre a Teoria de Corpos e a Teoria de Grupos. Através da Teoria de Galois, certos problemas na Teoria de Corpos podem ser reduzidos a problemas na Teoria de Grupos, a qual é, num certo sentido, mais simples e melhor entendida. Tal conexão é feita através do estudo de simetrias das raízes de polinômios, e estas simetrias são expressas em termos de grupos de permutações. Dados um corpo-base F e uma extensão de Galois E/F, o grupo de Galois desta extensão é o grupo dos automorfismos do corpo E que mantêm fixos todos os elementos de F. Uma forma de se construir extensões de Galois de um corpo F é considerar polinômios p(x) com coeficientes em F que não possam ser completamente fatorados em F, de modo que ele possua raízes numa extensão de corpos E de F. Através desta teoria resolvemos problemas de construções com régua e compasso, por exemplo: podemos trisseccionar ângulos arbitrários? Que polígonos regulares podemos construir? Que números podemos construir? E, igualmente importante, demonstramos, via grupos solúveis, que não existem fórmulas do tipo Baskhara para resolução de polinômios de grau maior ou igual a 5 em termos de seus coeficientes.

Teoria de Galois - Construções com régua e compasso - Álgebra

E0392

FUNÇÕES ARITMÉTICAS E NÚMEROS NOTÁVEIS

Kênia Cristina Pereira (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Ary Orozimbo Chiacchio (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Teoria dos Números é o ramo da Matemática cujo objetivo central é o estudo das propriedades dos números inteiros. Neste projeto, estudamos algumas funções aritméticas e suas propriedades, os números perfeitos, abundantes ou deficientes e os números de Fibonacci. Também analisamos o conceito de congruência, a aritmética modular, os Teoremas de Euler, Wilson e Fermat, e o algoritmo conhecido como Teste de Miller, que serve para detectar números compostos. A familiaridade com todos esses conceitos e resultados em Teoria dos Números, permite, por exemplo, descrever em detalhes um dos métodos de criptografia mais usados em aplicações comerciais, o RSA.

Função aritmética - Números notáveis - Congruência

E0393

INTRODUÇÃO À ANÁLISE FUNCIONAL E APLICAÇÕES

Rafael Andretto Castrequini (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Ary Orozimbo Chiacchio (Orientador) Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Análise Funcional é uma das ferramentas fundamentais da Matemática; seus métodos têm aplicações nos mais variados campos tais como equações diferenciais e integrais, cálculo de variações, mecânica quântica e teoria de aproximação. Nesse projeto estudamos alguns princípios básicos da análise funcional e algumas aplicações em teoria de aproximação. Para exemplificar citamos uma delas: dados um espaço de Hilbert H, um elemento x em H e um cone convexo C contido em H, caracterizar o elemento de melhor aproximação de x em C. Tal elemento é descrito pela seguinte propriedade: y₀ em C é a melhor aproximação de x se, e somente se, < x – y₀, y > £ 0, para todo y em C e < x – y₀, y₀ > = 0. A interpretação geométrica dessa condição é: y₀ é a melhor aproximação de x em C se, e somente se, x – y₀ é ortogonal a y₀ e forma um ângulo de pelo menos 90º com cada vetor de C.

Produto interno - Ortogonalidade - Melhor aproximação

E0394

GEOMETRIA COM APOIO COMPUTACIONAL

Juliana Fachini (Bolsista PIBIC/CNPq), Profa. Dra. Claudina Izepe Rodrigues (Co-Orientadora) e Profa. Dra. Eliane Quelho Frota Rezende (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica – IMECC, UNICAMP
O projeto consistiu em desenvolver atividades para o ensino da Geometria Euclidiana Plana e Geometria Analítica envolvendo conceitos, propriedades, aplicações e problemas contextualizados, utilizando como ferramenta o programa computacional Cabri-Géomètre. Este programa é de fácil aprendizagem e apresenta uma característica dinâmica de figuras geométricas incentivando os alunos a investigar, conjeturar e observar a validade de propriedades e resultados. A pesquisa foi desenvolvida analisando livros didáticos e seguindo as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais, a partir dos quais redigimos um texto com as atividades refletindo sobre a utilidade dos recursos tecnológicos para a construção e aquisição de conhecimentos. Nosso objetivo é que o texto desenvolvido possa ser útil a professores do Ensino Fundamental e Médio em suas aulas e a alunos de graduação em matemática no acesso a uma nova metodologia de ensino. Com este projeto acreditamos estar contribuindo com o ensino-aprendizagem das Geometrias Plana e Analítica no sentido de tornar mais claros e interessantes seus conceitos, propriedades e aplicações.

Geometria - Cabri géomètre - Atividades de geometria

E0397

UM ALGORITMO GENÉTICO PARA ROTEAMENTO DE VEÍCULOS COM ENTREGA E COLETA

João Ferraz Villela (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Francisco A. M. Gomes Neto (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Em um problema de roteamento de veículos, é preciso determinar como deve ser feita a distribuição de um certo número de produtos, armazenados em um depósito, a um conjunto de clientes. Neste trabalho, lidamos com um problema que também envolve coleta, de modo que alguns clientes, em lugar de receberem, fornecem produtos que são recolhidos ao depósito. O transporte dos produtos é feito utilizando-se caminhões. O objetivo do problema é determinar a rota que cada caminhão fará e quais clientes ele deverá atender, de forma a minimizar o custo de transporte. Naturalmente, é preciso levar em conta que os caminhões têm uma capacidade fixa. Além disso, por razões de logística, todas as entregas de um caminhão são efetuadas antes dele iniciar a coleta. Dada a complexidade do problema, não há um algoritmo determinístico eficiente para a sua solução. Desta forma, elaboramos um método de otimização utilizando Algoritimos Genéticos, adaptando outros métodos propostos para a solução do problema sem coleta. O algoritmo proposto foi implementado em MATLAB e seu desempenho mostrou-se bastante satisfatório. Os testes realizados permitiram-nos determinar valores ótimos para o tamanho da população e para as taxas de cruzamento (crossover) e de mutação.

Roteamento de veículos - Algoritmos genéticos - Otimização

E0395

OTIMIZAÇÃO VIA INTERNET

Sergio Teixeira Amzalak (Bolsista PIBIC/CNQq) e Prof. Dr. Francisco A. M. Gomes (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Os problemas de otimização fazem parte de uma área denominada pesquisa operacional, na qual modelos matemáticos são usados para descrever os problemas e ajudar nas tomadas de decisões. Neste projeto, desenvolvemos uma interface web para programas de otimização. No projeto, foram usadas as linguagens CGI e Perl, respectivamente, para desenvolver as interfaces web e local, não tendo sido necessária a utilização de qualquer depurador adicional. No momento, apenas problemas de programação linear (PL) podem ser resolvidos. Para resolver um problema, é preciso, primeiramente, formulá-lo utilizando a linguagem de modelagem algébrica AMPL. Em seguida, o usuário entra na página do sistema na internet e submete o arquivo contendo a descrição do problema, bem como seu endereço eletrônico. O sistema, então, resolve o problema e fornece na tela a solução encontrada. O usuário também recebe uma cópia da solução em sua caixa de correio eletrônico. Com este sistema, uma pessoa pode, de qualquer parte do país, resolver seus problemas remotamente, via um navegador de internet, sem precisar instalar ou compilar qualquer programa.

Otimização - Programação linear - Internet

E0396

OTIMIZAÇÃO TOPOLÓGICA DE ESTRUTURAS

Thadeu Alves Senne (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Francisco de Assis Magalhães Neto (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este projeto consiste na determinação da topologia ótima de uma estrutura. Em muitas situações práticas, a solução analítica deste problema pode ser complexa, ou até mesmo impossível de ser obtida, de modo que procuramos encontrar apenas uma solução aproximada. Para tanto, utilizamos, inicialmente, o Método dos Elementos Finitos para discretizar o domínio inicial da estrutura em um número finito de elementos, que podem ser retangulares, triangulares, etc. Obtemos, desta forma, um problema de otimização que consiste na minimização da flexibilidade média (compliance) do material que compõe a estrutura ótima, sujeito a uma restrição de volume do domínio. Este problema é resolvido através de dois métodos de programação não linear: a Programação Linear Seqüencial com regiões de confiança e o Método das Assíntotas Móveis, que é baseado numa estratégia denominada Programação Seqüencial Convexa. Durante o processo de otimização, ocorre um fenômeno indesejável: a formação de regiões com elementos de cor escura (presença de material) e elementos de cor branca (ausência de material), dispostos em forma de “tabuleiro de xadrez” nas estruturas obtidas. Para evitar a formação do “tabuleiro de xadrez”, aplicamos um filtro que controla a variação das densidades dos elementos. Utilizamos o software MATLAB para a implementação dos algoritmos. Com base nos resultados obtidos, constatamos que a Programação Linear Seqüencial é superior ao Método das Assíntotas Móveis.

Otimização topológica - Análise estrutural - Elementos finitos

E0398

ESTUDO DA DINÂMICA POPULACIONAL DO VÍRUS HIV

Guilherme Izidoro Poli (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Hyun Mo Yang (Orientador), Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Os modelos matemáticos têm sido usados com bastante sucesso para descrever a transmissão de micro ou macro-parasitas. A utilização de modelos matemáticos e estatísticos em fenômenos biomédicos tem como finalidade principal ajudar na compreensão dos mecanismos de propagação. Neste sentido, é preciso analisar o sistema de equações resultante da modelagem matemática tanto estático (estabilidade dos pontos de equilíbrio) quanto dinamicamente (trajetórias do sistema). Uma vez tendo demonstrado que o modelo proposto descreva com certo realismo o fenômeno biológico, o mesmo pode vir a nortear pesquisas posteriores. Ultimamente modelagem matemática tem, também, descrito a interação do sistema imunológico (SI) com elementos estranhos que invadem o organismo. A forma de resposta do organismo varia de acordo com o invasor (parasita). Mesmo dentro da classe micro-parasita, a resposta do SI difere em se tratando de bactérias, fungos e vírus. Temos com exemplo o vírus HIV que tem como células alvo os linfócitos T-CD4 para se replicar, enquanto o vírus da varicela-zoster aloja-se em células dos gânglios dos nervos espinais ou cranianos, resultante em diferentes formas de estimulação antigênica. Neste trabalho apresentamos um modelo simples que descreve a interação do SI com o vírus HIV, em que o vírus é destruído pelos anticorpos produzidos pelas células B ativadas por células T-CD4. Analisamos o sistema dinâmico quanto aos pontos de equilíbrio, em que o organismo debela o vírus ou a infecção torna-se grave, como dinamicamente.

Sistema dinâmico - Biomatemática - HIV

E0399

ESTUDO INTRODUTÓRIO EM EPIDEMIOLOGIA MATEMÁTICA – MODELAGEM MATEMÁTICA DA DINÂMICA DA TUBERCULOSE

Marcio Rodrigues Sabino (Bolsista PIBIC/CNPq), Profa. Dra. Silvia Martorano Raimundo (Co-Orientadora), FMUSP - USP, e Prof. Dr. Hyun Mo Yang (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A TUBERCULOSE (TB) é uma doença infecto-contagiosa causada pelo Mycobacterium tuberculosis (MTB). Aproximadamente um terço da população humana está infectada pelo MTB. Desde 1980, com o advento da AIDS, tem se registrado um aumento no número de casos de TB. Devido ao seu longo período de incubação, a TB tem um comportamento dinâmico diferente da maioria das doenças infecciosas. A vacina (BCG - Bacillus of Calmette and Guérin) vem sendo implementada há muitos anos, mas atualmente existe uma controvérsia quanto à sua eficiência. Neste trabalho, propõe-se um modelo matemático da dinâmica da TB que utiliza a vacinação como estratégia de controle da doença na comunidade. Assume-se que o indivíduo vacinado pode se infectar, pois a vacina não é 100% efetiva. O modelo é descrito por um sistema de equações diferenciais ordinárias não lineares, onde a população total está dividida em indivíduos suscetíveis à doença, vacinados e doentes. Pela análise matemática determinam-se os pontos de equilíbrio e estabilidade do sistema. Situações diferentes para a dinâmica do modelo são obtidas a partir do , definido como o número médio de casos novos produzidos por um único indivíduo infeccioso, numa população inteiramente suscetível.

Modelagem matemática - Tuberculose - Vacinação

E0400

ESTUDO INTRODUTÓRIO EM DINÂMICA POPULACIONAL APLICADA À CONSERVAÇÃO DE ALIMENTOS

Roberta Regina Delboni (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Hyun Mo Yang (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Devido a diversos surtos de listeriose humana a partir da década de 80, a Listeria monocytogenes tornou-se um dos mais importantes patógenos veiculados por alimentos, pois apresenta uma ampla distribuição na natureza podendo ser um perigoso contaminante na indústria alimentícia. As bactérias lácticas podem ser utilizadas para conservação de alimentos por meio de exclusão competitiva com outros microrganismos e também através da produção de substâncias inibitórias, incluindo-se as bacteriocinas, produtos primários extracelulares, sintetizados no ribossoma bacteriano. Após estudo de modelos clássicos em dinâmica populacional, foi desenvolvido neste trabalho um modelo matemático para simular a interação entre bactérias lácticas e a Listeria. O modelo desenvolvido é um sistema dinâmico de equações diferenciais ordinárias não linear. O sistema considera a capacidade suporte do meio que limita o crescimento das bactérias até um determinado nível e, além disso a perda de estabilidade do ácido láctico e da bacteriocina. Uma simulação numérica foi realizada utilizando-se o MATLAB e o método de Runge Kuptta. O sistema fornece um ponto de equilíbrio estável no qual, dependendo das condições iniciais, a população de Listeria tende a extinção. Através de uma análise do modelo é possivel obter informações sobre o comportamento das soluções, e também analisar a possível ação do ácido láctico e da bacteriocina produzidos pela bactéria láctica, para o controle da Listeria.

Modelo matemático - Conservação de alimentos - Dinâmica populacional

E0401

MODELAGEM MATEMÁTICA, APROXIMAÇÃO NUMÉRICA E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS DE FORMAS DE PLUMAS POLUENTES NA REGIÃO DA BAÍA DE SEPETIBA, RJ

Letícia Tanabe (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. João Frederico da C. A. Meyer (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Neste trabalho, usando a equação evolutiva a derivadas parciais de difusão-advecção, foi modelado o comportamento da posição de uma pluma de poluente na região da baía de Sepetiba, RJ. A solução é aproximada usando diferenças finitas nas variáveis espaciais (eixos x e y) e um método tipo Crank-Nicolson na variável temporal. As condições de contorno foram escolhidas conforme características geofísicas da região (mangue, rochas, praia, mar aberto). Foram consideradas as variáveis apenas na horizontal – como mapa – e velocidades predominantes. Os operadores foram do tipo dito de diferenças centradas e são de segunda ordem. O sistema resultante foi montado por algoritmos apropriados e tratado numericamente com o uso do instrumental Matlab no laboratório de graduação do IMECC-UNICAMP. As saídas foram transformadas para evidenciar características qualitativas, fazendo uso apropriado de transformações adequadas de resultados numéricos. Com os resultados é possível, de um ponto de vista qualitativo, avaliar possíveis efeitos resultantes de fontes poluidoras e dos cenários comuns da região.

Ecologia matemática - Difusão-advecção - Simulação numérica

E0402

O COMPORTAMENTO DE PLUMAS POLUENTES NA REGIÃO ESTUARINA DE SANTOS – SP: MODELAGEM MATEMÁTICA, APROXIMAÇÃO NUMÉRICA E SIMULAÇÕES COMPUTACIONAIS.

Priscila Cristina Berbert (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. João Frederico da C. A. Meyer (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Os estudos deste projeto foram concentrados em três locais da Baía de Santos (Canal 3, Canal 5 e Emissário submarino). A partir das batimetrias destas regiões foram obtidos cortes longitudinais ortogonais à costa. Estes cortes constituem os domínios adotados no problema. Para a modelagem do fenômeno recorreu-se a uma equação evolutiva a derivadas parciais de difusão-advecção. A solução é aproximada usando diferenças finitas nas variáveis espaciais (eixos y e z) e a formulação implícita de Crank-Nicolson na variável temporal; além de condições de contorno adequadamente definidas. As simulações foram realizadas considerando também o movimento das marés. Os domínios e a equação foram discretizados e, a partir de códigos adequados, deram origem a um algoritmo que exige a solução sucessiva de sistemas lineares, tratados em ambiente Matlab. O esperado é que os resultados obtidos qualitativamente possam auxiliar em processos de tomada de decisões e avaliações de possíveis efeitos resultantes de fontes poluidoras e cenários comuns da região.

Biomatemática - Difusão-advecção - Simulação numérica

E0403

MODELAGEM MATEMÁTICA PARA O CÁLCULO DO VALUE AT RISK (VAR) PARA A MENSURAÇÃO DE RISCO NO MERCADO FINANCEIRO

Denis Furstenau Plec (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Laercio Luis Vendite (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Foram estudados métodos para obtenção do Var, suas aplicações vantagens e desvantagens. Partindo de conceitos estatísticos, que servem para mensurar o Var e em seguida passando ao seu cálculo formal encontrando como estimar este valor a partir de uma distribuição normal ou geral. Há diversos métodos disponíveis para o cálculo do Var. O primeiro e mais simples deles é a abordagem delta-normal, que pressupõe que todos os instrumentos são combinação linear de fatores primitivos, há também instrumentos não-lineares onde os métodos são de avaliação plena: simulação histórica e o método de Monte Carlo. Cada um dos métodos adapta-se melhor a um certo ambiente. A decisão sobre qual método usar está diretamente vinculado a parâmetro de velocidade e precisão, sendo os de avaliação local mais velozes e os de avaliação plena os mais precisos.

Análise de risco - Var - Mercado financeiro

E0405

INTRODUÇÃO À GESTÃO DE RISCO FINANCEIRO

André Luiz Duarte Ferreira Rodrigues (Bolsista FAPESP) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Nos últimos anos a gestão de risco financeiro tem passado por uma revolução, devido à introdução de um novo método para mensuração dos riscos de mercado: a metodologia de Value at Risk (VaR). O VaR é atualmente usado para controlar e gerenciar de maneira ativa, tanto o risco de crédito como o risco operacional. O risco de crédito surge quando as contrapartes não desejam ou não são capazes de cumprir suas obrigações contratuais. O risco operacional é oriundo de erros humanos, tecnológicos ou de acidentes, incluindo fraudes, falhas de gerenciamento e procedimento adequados.O VaR pode ser definido como a maior perda esperada dentro de determinado período de tempo e intervalo de confiança. Em outras palavras, o VaR descreve o percentil da distribuição de retornos projetada sobre um horizonte estipulado.

VaR - OVO - Otimização

E0404

FRAÇÕES CONTÍNUAS, PHI, PI E AS FLORES

Marcela Yaeko Asato (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Lúcio Tunes dos Santos (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Uma fração contínua é uma expressão da forma

onde a₀, a₁, a₂, ... são números inteiros. Um resultado importante é que qualquer número real pode ser escrito como uma fração contínua e, se o número for racional a expansão é finita, isto é, a_k = 0 para k maior que um certo K finito. Frações contínuas são muito úteis porque fornecem as “melhores" aproximações racionais para números irracionais. Neste projeto, foram introduzidos o estudo das frações contínuas e sua utilização na aproximação de irracionais por racionais, aplicando esses conhecimentos em um modelo de crescimento de núcleos de flores. Desta maneira, observa-se que o número Phi=(1+5^1/2)/2 é o número mais irracional dos irracionais, o que o torna um número muito comum na natureza. Para observar este fato, foi construído um kit de apresentação dos resultados com flores.

Frações contínuas - Números irracionais - Fibonacci

E0406

AUTOVALORES: ASPECTOS TEÓRICOS E APLICAÇÕES

Wu Hsien Ming (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Maria Aparecida Diniz Ehrhardt (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Neste projeto voltamos nosso interesse ao estudo de autovalores, visto que este é um assunto bastante rico tanto do ponto de vista teórico quanto em relação a suas aplicações. Nosso objetivo foi trabalhar, sempre que possível, com a interpretação geométrica dos tópicos abordados, considerando que, dessa forma, uma melhor compreensão do assunto em estudo pode ser atingida. Iniciamos o trabalho com o estudo da teoria básica de autovalores e sua representação geométrica em IR². Passamos então a algumas aplicações: classificação de cônicas e de pontos estacionários de funções quadráticas, tópicos fundamentais para o estudo de problemas de Programação Matemática. Em seguida, tratamos da Decomposição em Valor Singular (SVD), da relação dos valores singulares com autovalores e sua representação geométrica e da aplicação de SVD no tratamento de imagem. Nesse caso, exploramos a economia que o uso de SVD pode proporcionar à transmissão de dados na recuperação de uma determinada imagem. O uso de autovalores na análise do condicionamento de sistemas lineares também é tema do projeto. Como suporte computacional, usamos o software MatLab, e pudemos documentar nosso trabalho com um significativo conjunto de figuras, importantes para ilustrar o estudo do assunto autovalores/autovetores e outros relacionados.

Autovalores - Autovetores - Decomposição em valor singular

E0407

ANÁLISE LINEAR E APLICAÇÕES

Anderson Yassuhiro Afuso (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa Dra. Maria Sueli Marconi Roversi (Orientadora), Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Algumas aplicações de resultados teóricos fundamentais da análise matemática tornam-se mais fáceis pelo fato de admitirem interpretações geométricas simples. Com esse objetivo, as técnicas de álgebra linear são utilizadas em espaços munidos de uma estrutura similar à da reta real, nos quais a métrica relaciona propriedades geométricas com a estrutura algébrica do espaço. Para métricas especiais definidas a partir de uma norma, a noção de convexidade estrita apresenta uma caracterização geométrica importante da bola unitária. Destacamos os espaços de seqüências reais , cujas normas são definidas por e, que estendem as normas do plano euclidiano. Em particular, estudamos uma noção de ortogonalidade em espaços normados não munidos de um produto interno, baseada na interpretação geométrica da ortogonalidade de duas retas, através da comparação de distâncias entre pontos.

Norma - Convexidade - Ortogonalidade

E0408

ANÁLISE DE PAINLEVÉ DAS EQUAÇÕES DO CORPO RÍGIDO

Marcelo Zimbres Silva (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Patricio S. Letelier (Orientador), Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Apresentamos nesse painel um resumo de toda a teoria estudada e os resultados obtidos. A análise de Painlevé é um procedimento que estuda a integrabilidade de equações diferenciais através da análise da estrutura de suas singularidades. O trabalho pioneiro de Kowalevskaya mostrou que, no caso de um corpo rígido com um ponto fixo, existem apenas quatro casos integráveis, sendo um deles o peão de Euler. Em nossa análise tentamos usar um procedimento parecido para analisar as equações de movimento de uma partícula com spin no espaço-tempo de Schwarzschild, para esse fim usamos as equações de Mathison-Papapetrou que no caso das equações de translação diferem da equação de uma gedésica através de um termo de acoplamento spin-curvatura. A grande dificulade nesse contexto é o grande número de variáveis, e grande complexidade das equações. Para exemplificar o método apresentamos a análise de Painlevé do peão livre.

Análise de Painlevé - Equações de Mathisson-Papapetrou - Relatividade geral

E0409

MÉTODOS DE DESCIDA PARA OTIMIZAÇÃO MULTIOBJETIVO

Daniel Tressi da Silva (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Roberto Andreani (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
O Problema de otimização multiobjetivo atende a resolver problemas com objetivos multiplos representados por funções f₁,f₂,...,f_m cujo domínio é um conjunto Ω ≤ Rn. A idéia da otimização multiobjetivo consiste em estabelecer uma maneira de tomar decisão que seja razoável aos objetivos mensurados. Assim, utilizamos a definição de ponto eficiente introduzida por Pareto onde um ponto é considerado Pareto eficiente quando não é possivel melhorar nenhum objetivo sem piora algum outro. Para lidar com este problema, trabalhamos com duas extratégias, o método do gradiente adaptado, e outro que é a otimização de uma função dada pelas somas ponderadas das funções objetivos. Realizamos sua implementação computacional, efetuamos testes em cada caso e analisamos os resultados obtidos. No caso das médias ponderadas, é possivel escolher pontos ótimos próximos ao ótimo de uma das funções objetivo e no caso do método do gradiente adptado, não podemos escolher uma região prévia para a convergência e além disso este método é computacionalmente mais caro.

Otimização multiobjetivo - Programação não linear - Método do gradienter

E0410

BURACOS NEGROS COMO LENTES GRAVITACIONAIS

Adriano Batista Prieto (Bolsista PIBIC/CNPq) e Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A teoria gravitacional da Relatividade Geral de Einstein (1900s) previu o desvio da luz ao passar por corpos massivos, tratados a partir de então como lentes. Nesse caso, porém, a deflexão da luz não é conseqüência da mudança de meio físico, como na óptica, mas sim da atração causada pelos intensos campos gravitacionais de quasares, buracos negros e até mesmo de galáxias inteiras. Linearizando as equações de Einstein-Maxwell em torno das soluções de Schwarchild, fazemos a aproximação das ondas de luz em termos de raios, isto é, uma aproximação eikonal, entrando no campo da óptica geométrica. Pode-se então comparar o caminho percorrido pela luz com as geodésicas nulas (Princípio de Fermat) e, além disso, definir o equivalente a um índice de refração para um buraco negro de Schwarchild, principal objetivo deste projeto. Se esse índice de refração depender do comprimento de onda das ondas incidentes, um fenômeno semelhante ao arco-íris pode acontecer.

Lentes gravitacionais - Aproximação eikonal - Gravitação

E0411

MODELAGEM E SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE UMA SITUAÇÃO DE AÇÕES INTER- E INTRA-ESPECÍFICAS NUM QUADRO DE COMPETIÇÃO EM UM MEIO HOSTIL

Luciana Takata Gomes (Bolsista SAE/UNICAMP) e Prof. Dr. Sílvio de Alencastro Pregnolatto (Orientador), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Com simulações numéricas, objetiva-se verificar o processo de degradação de áreas afetadas por atividades antrópicas (no caso, da Baía de Sepetiba, RJ). Simula-se, através do método de diferenças finitas, uma fonte de poluentes, o comportamento da mancha gerada e o de populações interativas afetadas por esse poluente e reproduzindo-se malthusianamente. Tendo-se as equações diferencias parciais que descrevem os comportamentos dos poluentes e da população, assumem-se por objetivos: discretização do domínio; discretização dos operadores diferenciais; e produção de saídas qualitativamente identificáveis a partir de resultados numéricos. A metodologia utilizada segue a teoria do método de diferenças finitas. A partir de condições iniciais e de contorno, define-se um algoritmo em ambiente Matlab. Para cada velocidade de maré escolhida e intensidade da fonte de poluentes, cenários diferentes foram encontrados, fornecendo resultados essencialmente qualitativos. O programa vem fornecendo resultados significativos, definindo cenários condizentes com a realidade.

Dinâmica-populacional - Diferenças-finitas - Difusão-advecção

E0412

RETICULADOS E UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE CÓDIGOS

Carolina Farias de Castro (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Sueli I. Rodrigues Costa (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A teoria de códigos corretores de erros lida com o problema geral de transmissão de dados e mensagens de forma confiável. Ela é utilizada nas comunicações via computador, satélites, etc. Para melhorar e garantir a segurança na transmissão desses dados, eles são colocados em forma de códigos. Diversas estruturas têm sido utilizadas em processos de codificação, e nesse trabalho a estrutura dos reticulados em Rⁿ foi estudada mais detalhadamente para a construção de códigos geometricamente uniformes. O estudo busca encontrar os melhores códigos possíveis em Zⁿ_2, e isto está associado ao problema de empacotamento esférico de um reticulado. Um reticulado em Rⁿ é definido por combinações inteiras de vetores linearmente independentes. O problema do empacotamento busca localizar esferas centradas neste reticulado de forma que estas não se interseccionem exceto em pontos da casca, e o arranjo de esferas ocupe o maior espaço possível. Este projeto está vinculado ao projeto temático interdisciplinar “Códigos Geometricamente Uniformes“ (FAPESP 02/07473-7), coordenado pela orientadora conjuntamente com o Prof. Reginaldo Palazzo Jr – FEEC, e foi desenvolvido em conjunto com o projeto “Geometria Discreta e Códigos Corretores de Erros” (PIBIC-CNPq) da bolsista de iniciação cientifica Daniela M. Kamioka.

Códigos - Reticulados - Códigos uniformes

E0413

GEOMETRIA DISCRETA E CÓDIGOS CORRETORES DE ERROS

Daniela Midori Kamioka (Bolsista PIBIC/CNPq) e Profa. Dra. Sueli I. Rodrigues Costa (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
A presença cotidiana dos computadores na nossa sociedade, com o uso de sistemas de comunicação digital na mais diversas áreas, tem levado ao estudo e desenvolvimento de novas estruturas e métodos matemáticos que dêem suporte a essas novas tecnologias digitais. Estes vêem a integrar a teoria da informação, uma área de pesquisa e aplicações em pleno desenvolvimento. A teoria dos códigos corretores de erros é uma subárea da teoria da informação que lida com o problema geral da transmissão de mensagens de forma confiável. Ela é utilizada de modo essencial nas comunicações via computador, televisão, etc. Meu estudo específico foi no tema dos códigos chamados geometricamente uniformes, particularmente os códigos lineares onde analisamos simetrias que são instrumentos para discutir a performance de um código. Os códigos lineares são imagens de espaços vetoriais por transformações lineares. Exemplos de tais códigos são os códigos de Hamming, Reed-Miller e Goley. Este trabalho está vinculado ao projeto temático interdisciplinar “Códigos Geometricamente Uniformes em Espaços Homogêneos” (FAPESP 02/07473-7), coordenado pela orientadora conjuntamente com o Prof. Reginaldo Palazzo Jr.-FEEC, e foi desenvolvido em conjunto com o projeto de iniciação científica “Grafos, Reticulados e uma Introdução à Teoria de Códigos” da bolsista Carolina Farias de Castro (PIBIC/SAE).

Códigos corretores de erros - Códigos lineares - Simetrias

E0414

PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO

Arthur Azevedo de Amorim (Bolsista SAE/UNICAMP) e Profa. Dra. Vera Lucia Xavier Figueiredo (Orientadora), Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica - IMECC, UNICAMP
Este projeto trabalha com a teoria de otimização de funções de uma e várias variáveis reais sob os pontos de vista conceitual, analítico e geométrico, acompanhado de uma exploração computacional, visual e animada, fazendo uso do programa MathematicaÓ. A idéia deste trabalho é expor e tratar diversos problemas de máximos e mínimos, comparando diferentes paradigmas de resolução, tais como o uso do cálculo diferencial, o método dos Multiplicadores de Lagrange, argumentações puramente algébricas ou geométricas, além de outros, de aplicação ampla ou específica. Dois problemas simples foram analisados inicialmente. Um deles, conhecido como Problema de Heron, que foi um dos primeiros problemas de otimização a serem formulados; o outro, chamado de Problema da Ponte, é uma pequena variação no enunciado do primeiro. Após a modelagem e o tratamento iniciais, foram expostas duas abordagens distintas, uma delas seguindo uma argumentação puramente geométrica, à moda clássica; a outra empregando ferramentas do Cálculo. Os enunciados destes problemas foram sendo modificados progressivamente, com o intuito de se explorar conceitos matemáticos envolvidos em otimização. Durante o trabalho pode ser constatado que, embora possa haver muitas abordagens corretas para o tratamento de problemas de otimização, determinados problemas e suas soluções são melhor expressos na linguagem de um ou outro método de otimização específico, justificando assim a pesquisa desenvolvida.

Otimização - Multiplicadores de Lagrange - Ferramenta computacional