Baki döVLƏt universiteti TƏTBİQİ Rİyaziyyat və Kİbernetika fakultəSİ

İterasiya və ya ardıcıl yaxınlaşma üsulu.

Verilmiş tənliyinin həqiqi c₀ kökünün təqribi qiymətini hesablamaq üçün tətbiq olunan (sınaq, vətərlər və toxunanlar) üsulların ümumi cəhəti ondan ibarətdir ki, eyni növ proses ardıcıl olaraq təkrar olunur və hər dəfə təkrar olunduqca c₀ kökünə daha yaxın təqribi qiymətlər alınır. Belə üsullara iterasiya (latınca mənası təkrar olunan «iteratio» sözündən götürülmüşdür) və ya ardıcıl yaxınlaşma üsulu deyilir.

Tənliyin təqribi həlli üçün iterasiya üsulu ümumi şəkildə aşağıdakı kimi tətbiq olunur: tənliyini

(1)

ekvivalent şəklində yazırlar. (1) tənliyinin c₀ kökünü təkləyən [a,b] parçasının hər hansı x₀ nöqtəsini götürərək, onu sıfırıncı yaxınlaşma hesab edirlər. Sonra birinci yaxınlaşma olan x₁ qiymətini (1) tənliyindən

şəklində tapırlar. Bundan sonrakı yaxınlaşmalar aşağıdakı şəkildə qurulur:

,

,

. . . . . . . . .

,

. . . . . . . . .

Əgər qurulan {x_n} ardıcıllığı yığılandırsa, onda onun limiti (1) tənliyinin həlli olar. Doğrudan da, funksiyasının kəsilməz olduğunu qəbul etsək, onda:


və ya

.

Bu göstərir ki, c₀ ədədi (1) tənliyinin köküdür.

Deməli, {x_n} ardıcıllığı yığılan olduqda n-in böyük qiymətində x_n –i (1) tənliyinin təqribi həlli hesab etmək olar.

Qurulan {x_n} ardıcıllığı dağılan da ola bilər. Bu halda istifadə olunan iterasiya üsulu (1) tənliyinin təqribi həlli üçün heç bir nəticə verməz.

Qurulan iterasiya üsulunun yığılması haqqında aşağıdakı teoremi isbat edək:
Teorem. Tutaq ki, funksiyası (1) tənliyinin kökünü təkləyən parçasında diferensiallanandır və onun törəməsi həmin parçanın bütün nöqtələrində

(2)

bərabərsizliyini ödəyir. Bu halda əgər şərti ödənilirsə, onda iterasiya prosesi yığılandır və sıfırıncı yaxınlaşma olaraq parçasının istənilən x₀ nöqtəsini götürmək olar.

İsbatı. (1) tənliyinin parçasında yerləşən yeganə kökü c₀ olduqda n-ci yaxınlaşma üçün Laqranj teoreminə əsasən


münasibəti doğru olar. Buradan, (2) bərabərsizliyinə əsasən

(3)

bərabərsizliyini alırıq. Bu bərabərsizliyi ardıcıl olaraq tətbiq etsək:

,

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
olduğundan və buna görə də . Deməli, {x_n} ardıcıllığı c₀ nöqtəsinə (tənliyin kökünə) yığılır.

Qeyd edək ki, tənliyini

şəklində yazsaq və sıfırıncı yaxınlaşma olaraq x₀=a ədədini götürsək, onda iterasiya üsulundan vətərlər üsulu alınır.

Tənliyi

şəklində yazdıqda isə iterasiya üsulundan toxunanlar üsulu alınır.