Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

ASOSIY QISIM
I BOB

1. 
   Lebeg integrali.
   

Aytaylik, funkstiya kesmada chegaralangan bo’lib, bo’lsin. kesmani quyidagicha n ta bo’lakka bo’lamiz:

Endi quyidagicha yigindilar tuzamiz:
(1)
bunda va – kesmadagi Lebeg o’lchovi. (1) yigindilar mos ravishda Lebeg integralining quyi va yuqori yigindilari deyiladi. bo’lsin. Agar va limitlar mavjud va teng bo’lsa, u holda funkstiya kesmada Lebeg ma’nosida integrallanuvchi deyiladi, bu limit esa funkstiyani kesmadagi integrali deyiladi va kabi belgilanadi. Endi Lebeg integralining ba’zi xossalarini keltiramiz.
1⁰. Agar funkstiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi bo’lsa, u Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi bo’ladi.
2⁰. Agar ixtiyoriy uchun bo’lsa, u holda bo’ladi.
3⁰. Agar funkstiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda uchun tenglik o’rinli bo’ladi.
4⁰. Agar va funkstiyalar da integrallanuvchi bo’lsa, u holda tenglik o’rinli bo’ladi.
5⁰. Agar integrallanuvchi , funkstiyalar uchun bo’lsa, u holda tengsizlik o’rinli bo’ladi.
6⁰. da integrallanuvchi funkstiya uchun tengsizlik o’rinli bo’ladi.
7⁰. Agar funkstiya da integrallanuvchi bo’lsa, u holda funkstiya xam da integrallanuvchi bo’ladi.
Lebeg integralining ta’rifini, chekli va cheksiz o’lchovli to’plamlar bo’yicha ixtiyoriy o’lchovli funkstiyaning Lebeg integrali ta’rifini, Lebeg va Riman integralini solishtirishni, Lebeg, Levi, Fatu Teoremalarini hamda Lebeg integralining qolgan xossalarini [1], [2] –adabiyotlardan o’rganishni talabalarga tavsiya qilamiz.