Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

1.4-misol. Quyidagi funkstiyalarning kesmada Lebeg va Riman ma’nosida integrallanuvchiligini tekshiring va agar mavjud bo’lsa, integralni hisoblang.
a) b
(K - Kantor to’plami)
a) Riman ma’nosida integrallanuvchi emas, chunki u chegaralanmagan. - quyidagi

funkstiyaga ekvivalent, chunki
–chegaralangan va faqat bitta nuqtada uzilishga ega, shuning uchun u Riman ma’nosida integrallanuvchi. Lebeg va Riman integrallarini taqqoslash haqidagi Teoremaga ko’ra Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi va

~ bo’lganligi uchun ham Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va

b) funkstiya ushbu funkstiyaga ekvivalent. haqiqatan xam

–chegaralangan va faqat bitta uzilish nuqtasiga ega. Shuning uchun u Riman ma’nosida, natijada, Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi va

bo’lgani uchun funkstiya ham Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va . Lekin Riman ma’nosida integrallanuvchi emas, chunki uning uzilish nuqtalari to’plamining o’lchovi dan kichik emas. Haqiqatan ham, har bir uchun shunday va ketma-ketliklar mavjudki . Lekin . Demak, oraliq funkstiyaning uzilish nuqtalari to’plamining qismi bo’ladi.
1.5-misol. Ushbu integralni mavjudligini ko’rsating va hisoblang.
a) b)
a) funkstiyani qaraymiz, ~ chunki . –uzluksiz funkstiya va uning Riman xosmas integrali absolyut yaqinlashuvchi, , shuning uchun Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va

b)

chunki . juft funkstiya, ya’ni va . Shuning uchun ning da integrallanuvchi bo’lishi uchun uning da integrallanuvchi bo’lishi zarur va etarli bo’ladi va bo’lganligi uchun ning da integrallanuvchi bo’lishi uchun uning [0,1) va to’plamlarda integrallanuvchi bo’lishi etarli bo’ladi va
.
Bu to’plamning har birida funkstiya Rimanning xosmas ma’nosida integrallanuvchi, shuning uchun Lebeg ma’nosida ham integrallanuvchi:

2. 
   O’zgarishi chegaralangan funkstiyalar.