Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

4.5-Teorema. Faraz qilaylik E to’plam A_k to’plamlarning birlashmasi sifatida tasvirlangan bo’lib A_k larning ixtiyoriy bir jufti kesishmaydigan bo’lsin va {A_k} to’plam sanoqli to’lamdan ortiq bo’lmasin. Agar f(x) funkstiya har bir A_k to’plamlarda integrallanuvchi bo’lsa va



bo’lsa, u holda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi.
4.6-Teorema.(Absolyut uzluksizlik xossasi) Agar f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’lsa, u holda >0,  bo’lib ixtiyoriy eE (e<) uchun

bo’ladi.
4.7-Teorema.(A.L.Lebeg) Faraz qilaylik {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funkstiyaga o’lchov bo’yicha yaqinlashsin va E to’plamda integrallanuvchi bo’lgan (x) uchun

tengsizlikni E to’plamda deyarli bajarilsin. U holda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

tenglik o’rinli bo’ladi.
4.8-Teorema. (B.Levi) Faraz qilaylik {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:

1. 
   {f_n(x)} ketma-ketlik kamaymadigan (o’smaydigan) bo’lsin;
   
2. 
   E to’plamda f_n(x) funkstiyalar integrallanuvchi bo’lib
   

bo’lsin.U holda

mavjud va f(x) funkstiya E da integrallanuvchi bo’ladi va shu bilan birga

Natija. Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi uchun E to’plamda

qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda

qator E to’plamda deyarli hamma joyda yaqinlashuvchi bo’ladi va

tenglik bajariladi.
4.9-Teorema. (P.Fatu) Agar manfiy bo’lmagan {f_n(x)} funkstiyalar ketma-ketligi E to’plamda f(x) funkstiya deyarli yaqinlashuvchi bo’lib E to’plamda f_n(x) funkstiyalar integrallanuvchi bo’lsa va ixtiyoriy n natural son uchun

bo’lsa, u holda f(x) funkstiya E to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va

bo’ladi.
4.10-Teorema. [a,b] kesmada berilgan f(x) funkstiya Riman bo’yicha integrallanuvchi bo’lishi uchun f(x) funkstiya chegaralangan va [a,b] kesmada deyarli hamma joyda uzluksiz bo’lishi zarur va kifoyadir.
4.1- Masala. Agar R va Q_n-1 tuplam Kantor tuplamlari bulib
x_n (_kn,_kn)G
bo’lganda
f(x)(_kn-x)(x-_kn)
bo’lsa va xP bo’lganda
f(x)0
bo’lsa, u holda
f(x)dx
integralni hisoblang.
Yechish. Bunday berilgan f(x) funkstiya [0,1] kesmada uzluksiz. Shuning uchun [0,1] da Lebeg ma’nosida va demak Riman ma’nosida ham integrallashuvchi. Teoremaga asosan
, PQ [0,1]
Endi P0 bo’lgani uchun 4.2-teoremaga ko’ra

Bu tenglikni e’tiborga olib teoremaga asosan tenglikka quyidagini topamiz.

4.2- Masala. Faraz qilaylik  bo’lib, A to’plamning hamma joyida deyarli f(x)>0 bo’lsin. Agar

bo’lsa, u holda 0 ekanligi isbotlansin.
Yechish. V to’plamni quyidagicha aniqlaymiz