Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

1.1–misol. Quyidagi sodda funkstiyaning integrallanuvchiligini ko’rsatib, Lebeg integralini xisoblang. Bu erda , agar , bo’lsa.
sodda funkstiya, chunki u o’lchovli to’plamlarda qiymatlarni qabul qiladi,
, qator absolyut yaqinlashuvchi, shuning uchun Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va .
1.2–misol. Quyidagi funkstiyaning Lebeg va Riman ma’nosida integrallanuvchiligini tekshiring. Bu erda , agar ,
-o’lchovli, chunki , to’plamlarda qiymatlarni qabul qiladigan sodda funkstiyadir. Bu funkstiya Lebeg ma’nosida integrallanuvchi bo’lishi uchun
(2)
bo’ladi. (2) qator absolyut yaqinlashuvchi bo’lgani uchun funkstiya Lebeg ma’nosida integrallanuvchi bo’ladi.
1.3–misol. Ushbu integralni ta’rif bo’yicha xisoblang.
a) b)
a) ning integrallanuvchiligini isbotlash uchun unga yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda funkstiyalar ketma-ketligini tuzamiz. U holda ta’rifga ko’ra . Har bir uchun funkstiyani quyidagicha aniqlaymiz:

Ko’rinib turibdiki, -sodda funkstiya. Chunki u o’lchovli

to’plamlarda mos ravishda

qiymatlarni qabul qiladi. ketma-ketlikning ga tekis yaqinlashishini, ya’ni bo’lishini ko’rsatamiz, ixtiyoriy son bo’lsin. funkstiyaning aniqlanishiga ko’ra , shuning uchun
.
Ikkinchi tomondan bo’lganligi uchun bo’ladi. Faraz qilaylik, bo’lsin. U holda



Demak, ya’ni funkstiyalar ketma-ketligi funkstiyaga tekis yaqinlashadi. Endi integralni hisoblaymiz. Sodda funkstiya uchun Lebeg integralining ta’rifiga ko’ra
Demak, integrallanuvchi sodda funkstiya, shuning uchun
Lebeg ma’nosida integrallanuvchi va
.
Lekin Riman ma’nosida integrallanuvchi emas, chunki u chegaralanmagan.
b) funkstiyaga tekis yakinlashuvchi integrallanuvchi sodda funkstiyalar ketma-ketligi tuzamiz: funkstiya to’plamda qiymatlarni qabul qiladigan sodda funkstiya bo’lsin. U holda ketma-ketlik ga tekis yaqinlashadi (bu fikrni isbot qilishni o’quvchiga havola qilamiz). Shuning uchun .
funkstiya da uzluksiz, shu sababli u Riman ma’nosida ham integrallanuvchi va