Funksional analiz fanidan tayorlagan kurs is

2.2 – Teorema. Agar bo`lsa u holda:
(2)
Isbot. Agar nuqta bo`lish nuqtalaridan biriga teng masalan , bo`lsa , u holda
(3)
Tenglik o`rinli bo`ladi. segmentini ixtiyoriy mayda qismlarga bo`lish hisobiga bu tenglikning o`ng tomonidagi yig`indini songa istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun
(4)
Munosabatlani yozishimiz mumkin. Ikkinchi tomondan ixhtiyoriy qislarga bo`lingan segmentni olib , qo`shimcha bo`lish nutasi kiritilsa, (1) tengsizlikning chap tomoni ortishigina mumkin. Shuning uchun bo`lish nuqtasimi yoki bo`lish nuqtasi, baribir, (3) ga muofiq quyidagi tengsizlik o`rinli: . Bu tengsizlik chap tomonining yuqori olinsa
(5)
tengsizlik kelib chikqadi. (4) va (5) munosabatlardan (2) tenglik kelib chiqadi.
2.3 – Teorema. segmentda o`zzgarishi chegaralangan har qanday funksiya ikki monoton o`suvchi funksiyaning ayirxmasi sifatida yozilishi mumkin .
Isbot. funksiyalarni kiritib, ularning har birining monoton o`suvchiligi ko`rsatilsa, Teorema isbot etilga bo`ladi.
2- Teoremaga muofiq , agar bo`lsa yani funksiya monoton o`suvchi. funksiya ham monotoon o`suvchi. Dar haqiqat, bo`lsin. u holda

Chunki songi Teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o`garishi chegaralangan funksiyalarning bazi hassalarni monoton o`suvchi funksiyalarning hassasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha . masalani o`zgarishi chegaralangan funksiya biror nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`lsa u holda va funksiyalar ham shu nuqtada o`dan uzluksiz bo`ladi. Masalan bu jumlani funksiya uchun isbot etamiz funksiya nuqtada o`ngdan uzluksizliigidanfoydalanib ixtiyoriy berilgan shunday sonni topamizki, agar va bo`lsa
(6)
Tengsizlikni yozish mumkin
Endi segmentni ta qismga bo`lamizki, ular uchun quyidagi tengsizlik o`rinli bo`lsin

nuqtani olishda tengsizlikka rioa qilisimiz kerak. u holda (6) formulaga muofiq
yoki
2- Teoremaga asosan bundan esa funksiyaning nuqtada o`ngdan uzluksizligini bevosita kelib chiqadi
2.1- natija. Agar o`zgarishi chegaralangan funksiya segmentda uzluksiz bo`lsa bg holda va funksiyalar ham shu segmentda uzluksiz bo`ladi.
2.2- natija. Biron funksiyaning swgmentda o`zgarishi chegaralangan bo`lishi uchun uning ikki monoton o`suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yozish mumkinligi zarur va kifoyadi.