Geometriyadan misol va masalalar

1-misol. X(3;—1;2) nuqta AB vektorning boshi B(—1; 2; 1) nuqta esa oxiri bo‘lsa, AB vektorning koordinatalarini toping.

Yechish: AB vеktоrning kооrdinatalarini topish uchun mоs


ravishda B nuqtaning kооrdinatalaridan A nuqtaning kооrdinatalarini


ayiramiz.


AB(—1 — 3; 2 — (—1); 1 — 2)
AB(—4; 3;—1).

2-Misol. C(3; —6; —2) vektorga yo‘nalishdosh bo‘lgan birlik
vektorni toping.

Yechish: Birlik vеktоrni quyidagicha yozish mumkin.

C^O = i C° + j C0 + к

endi C° C0, C0 larni topamiz.

^CX

^c0 = ил;

^|c|

|c| = 76² + (—2)2 + (-3)²

C° = |; C° = —6; C°° =


C0


c_z

^|c^|

bo‘lgani uchun.
bo‘lamiz. Dеmak,

= (7,

■ CO =^C0-

' ^C0 |c|^;

= V49 = 7

2

— - ga ega

vektorga yo‘nalishdosh birlik vektor quyidagicha C bo‘ladi.


C0


Bundan


berilgan

-1-" 7)

18

2. 
   Vektorlar ustida amallar. Vektorni qo‘shish, ayirish va songa ko‘paytirish.
   

Ikki vektorni qo‘shish deb, birinchi vektorning oxiriga ikkinchi vektorning boshi keltirib qo‘yilganda birinchi vektorning boshidan chiqib ikkinchi vektorning oxiriga tomon yo‘nalgan vektorga aytiladi. a,b,c,...,k vektorlarning yig‘indisi deb, quyidagicha yasaladigan a + b + c ... + к vektorga aytiladi.

Ixtiyoriy O nuqtaga a vektor qo‘yiladi, uning oxiriga b vektorning boshi qo‘yiladi va hokazo. Olingan O nuqta a + b + c ... + +k vektorning boshi, eng so‘ngi vektorning oxiri esa, yig‘indining oxiri deyiladi.

Vektorlarning yig‘indisi O nuqtani tanlab olishga bog‘liq emas.

Kollinear bo‘lmagan ikkita a, b vektorlarning yig‘indisi quyidagicha ham yasalishi mumkin (parallelogramm qoidasi): ikkala a, b vektorni bitta O nuqtadan boshlab OA = a , OB = b vektorlar qo‘yiladi; tomonlari OA, OB bo‘lgan OBCA parallelogramm yasaladi, u holda OC = AB + OB = a + b hosil bo‘ladi.

X + b = a (2.1)

shartni qanoatlantiruvchi x vektorga a, b vektorlarning ayirmasi deyiladi.

a, b vektorlarning a - b ayirmasini yasash uchun quyidagicha ish ko‘riladi: a, b vektorlar bitta nuqtadan qo‘yiladi OA = a , OB = b. U hol ЮА = a , OB = b da BA = ÖA + OB = a + b.

a Ф 0 vektorga qarama - qarshi vektor deb a vektorga kollinear, moduli shu vektor moduliga teng, yo‘nalishi esa a vektor yo‘nalishiga qarama - qarshi bo‘lgan vektorga aytiladi. Ravshanki, qo‘shish amalining xossalari quyidagicha bo‘ladi:

a + (b + c) = (a + b) + c (assotsiativlik)

a + 0 = a

a + (-a) = 0


19



а + b = b + a (kommutativlik) (2.2)

Л son bilan а Ф 0 vektorning ko‘paytmasi deb, а vektorga kollinear, moduli |Л| |а| bo‘lgan а vektor bilan bir xil, Л < 0 holda unga qarama - qarshi yo‘nalgan Ла vektorga aytiladi. Agar Л = 0 yoki а = 0 bo‘lsa Ла = 0 bo‘ladi. Vektorni songa ko‘paytirish amalining xossalari:

1. 
   • а = а
   

Л(^а) = (Л^) • а

Л(а + Ь)=Л-а + Л- Ь

(Л + ^)-а = Л- а + ^- а (2.3)

-л V* . V* „ . . d ....

Agar а, b vektorlar kollinear va b Ф 0 bo lsa, nisbat deb

shunday Л songa aytiladiki, unda а = Л • b bo‘ladi.

3. 
   Misol. а(—2; 3; 1) va b(8;-4;-6) vektorlar berilgan. Quyidagi 3а — |b vektorning koordinata o‘qlaridagi prоyеksiyalarini aniqlang.
   

Yechish: Endi 3а va |b vеktоrlarni aniqlaymiz. 3а = {—6; 9; 3},
|b = {4; —2; —3}. Dеmak,

1

3а — -b = {—6 — 4; 9 — (-2); 3 - (-3)}

3а —|b = {-10; 11; 6}.

4. 
   Misol. а = Î + 3j — 2k va b = 2Î + j + 4k vеktоrlar bеrilgan 2а + 3 b vеktоrlar yig‘indisini toping.
   

Yechish: а vektorni kооrdinatalari, а(1; 3; -2) хuddi shuningdеk b(2; 1; 4). Endi 2а va 3b vеktоrlarni aniqlaymiz. 2а = {2; 6;-4}, 3b = {6; 3; 12}. Dеmak,

2а + 3b = {2 + 6; 6 + 3; —4 + 12}

2а + 3b = {8; 9; 8}.


20

3.