Ta’rif. funksiyalarning chiziqli normalangan fazosi bo’lsin. fazoda aniqlangan funksional chiziqli deyiladi , agar u quyudagi shartlarni qanoatlantirsa
1) bu erda c-ixtiyoriy o’zgarmas,
2) bu erda .
Misol uchun da aniqlangan L[y(x)]= [y'(x)+ y(x)] dx ni ko’rib chiqaylik, bu funksional ko’rinib turibdiki, chiziqli.
Chiziqli funksionalning boshqacha ta’rifi.
funksional chiziqli deyiladi , agar u 1) uzluksiz; 2) ixtiyoriy funksiyalar uchun quyidagi shartni qanoatlantirsa
3°. Funksionalning variatsiyasi. Aytaylik funksiyalar to’plami da funksional berilgan bo’lsin. Ushbu funksionalni orttirmasi deb
(10)
( bu yerda , ) kattalikka aytiladi.
Misol 13. Agar , bo’lsa, fazoda aniqlangan , funksionalning orttirmasi topilsin.
Yechish. Ta’rifga ko’ra
ga ega bo’lamiz.
45. , deb olib, 13-misolda berilgan funksionalning orttirmasi topilsin.
Ta’rif. Agar funksional orttirmasini
+ , )
ko’rinishda yozish mumkin bo’lsa, bu yerda ga nisbatan funksional chiziqli va da , ) 0 bo’ladi, yani ifoda funksionalning variatsiasi deb ataladi va bilan belgilanadi. Bu holda funksional nuqtada diffrensiollanuvchi bo’ladi.
46. funsianalning variatsiyasi (agar u mavjud bo’lsa) faqat yagona
tarzda aqinlanadi.
Misol 14. fazoda aniqlangan funsianalni har bir nuqtada differensiyallanuvchiligi ko’rsatilsin.
Yechish. Ta’rifga ko’ra
Shunday qilib, ga ega bo’lamiz. Bu ga nisbatan chiziqli funksioldir. Ushbu holatda funksianolning barcha orttirmalari ga nisbatan chiziqli funksianolga keltirildi. Qaralayotgan funksianolni har bir nuqtada differensiyallanuvchi va uning variatsiyasi
