Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 7. kesmada y=x va y=x² egri chiziqlar orasidagi p masofa topilsin (1-rasm).
Yechish. Ta’rifga ko’ra yoki kesmaning oxirlarida funksiya nolga teng bo’ladi. kesmada funksiyaning maximumini topamiz ; da bo’ladi, bundan

Quyidagi berilgan misollarda ko’rsatilgan kesmada egri chiziqlar orasidagi masofa topilsin.

Aytaylik, y=f(x) va y=f₁(x) egri chiziqlar a kesmada n-tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’lsin. y=f(x) va y=f₁(x) chiziqlar orasidagi n-tartibli masofa deb, [a kesmadagi quyidagi miqdorlar maksimumlarining eng kattasiga aytiladi:

| f₁(x) - f(x) |,| f₁’(x)- f’(x) |, … , | f₁^(k)(x) – f^(k)(x) |.
Bu masofani quyidagicha belgilaymiz:
. (8)
Misol 8. kesmada f(x) =x² va f₁(x) =x³ egri chiziqlar orasidagi birinchi tartibli masofa topilsin.
Yechish. Ushbu berilgan funksiyalarning hosilalarini topamiz f₁’(x)=3x², f’(x)=2x va y₁=x²-x³ y₂=2x-3x² funksiyalarni qaraymiz. Ularning [0,1] kesmadagi eng katta qiymatlarini topamiz, natigada y₁’=2x-3x² ga ega bo’lamiz. Hosilani nolga tenglab, y₁(x) funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz : x₁=0, x₂=2/3. So’ngra, y₁|_x=0=0 ; y₁|_x=2/3=4/27; y₁(x) ning o’ng chegaradagi qiymati y₁ (1)=0. Bundan

Enidi f’(x)=2x va f₁’(x)=3x² hosilalar orasidagi nolinchi tartibli masofani topamiz
 .
y=|2x-3x²| funksiyaning grafigini chizamiz (2-rasm).



2-rasm.

Rasmdan ko’rinadiki p₀=1 ga teng. Shunday qilib, f(x)=x² va f₁(x)=x³ chiziqlar orasidagi birinchi tartibli masofa

p₁=max(p₀,p’₀)=1.
y= f(x) egri chiziqning n- tartibli ε atrofi deb, shunday y= f₁(x) egri chiziqkar to’plamiga aytiladiki, y= f(x) egri chiziq bilan orasidagi n-tartibli masofa ε dan kichik bo’ladi
p_n=p_n[f(x), f₁(x)]< ε. (9)
y= f(x) funksiyaning kuchli ε atrofiga nolinchi tartibli ε-atrofi deb aytiladi.
y= f(x) egri chiziqning kuchli ε atrofi, eni 2ε ga teng bo’lgan polosada yotuvchi y= f(x) egri chiziqning atrofidagi egri chiziqlardan iborat.
y= f(x) funksiyaning kuchsiz ε atrofiga birinchi tartibli ε-atrofi deb aytiladi.