Misol 3. (8)
funksiyaning
(9)
shartlar ostidagi shartli ekstremumi topilsin.
Yechish. Longranj funksiyasini tuzamiz
va parametrlarni aniqlash uchun hamda ekstremum mumkin bo`lgan nuqtalarning koordinatasini aniqlash uchun mos sistemasini yozamiz
(10)
Bu sistemani yechib quyidagilarni topamiz:
= , = , , , .
funksiyaning 2- diffirinsiali quyidagiga teng
= + + + + + .
Bizning holda
. (11)
(9) bog`lanish shartlaridan foydalanib,
ni olamiz. Bundan Bularni (11) ga qo`yib ni olamiz.
Statsionar nuqtada , yani ,- , nuqtada ga teng bo’lgan maximumga ega bo’lamiz.
Misol 4. funksiyaning sharti ostidagi ekstremumi topilsin.
Yechish. Longranj funksiyasini tuzamiz
.
va ekstremum mumkin bo`lgan nuqtalarning koordinatasini aniqlash uchun mos sistemasini yozamiz
yoki
, (12)
, (13)
. (14)
(12) va (13) dan
yoki
15)
ga ega bo’lamiz. (14) dan ga egamiz. (15) dan esa , bundan
, (16)
ni topamiz. (14) va (16) tenglamalarni birgalikda yechib,
, , (17)
ga ega bo`lamiz. funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz
, , .
, nuqtada
= ,
ga ega bo’lamiz. Demak, , nuqtada shartli ekstremum mavjud. So’ngra, da bo’ladi, shuning uchun nuqtada shartli maximum , ga teng, da = bo’ladi, yani nuqtada shartli minimum ga teng bo’ladi.
