Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 3.
(8)
funksiyaning
(9)
shartlar ostidagi shartli ekstremumi topilsin.
Yechish. Longranj funksiyasini tuzamiz

va parametrlarni aniqlash uchun hamda ekstremum mumkin bo`lgan nuqtalarning koordinatasini aniqlash uchun mos sistemasini yozamiz
(10)
Bu sistemani yechib quyidagilarni topamiz:
= , = , , , .
funksiyaning 2- diffirinsiali quyidagiga teng
= + + + + + .
Bizning holda
. (11)
(9) bog`lanish shartlaridan foydalanib,

ni olamiz. Bundan Bularni (11) ga qo`yib ni olamiz.
Statsionar nuqtada , yani ,- , nuqtada ga teng bo’lgan maximumga ega bo’lamiz.
Misol 4. funksiyaning sharti ostidagi ekstremumi topilsin.
Yechish. Longranj funksiyasini tuzamiz
.
va ekstremum mumkin bo`lgan nuqtalarning koordinatasini aniqlash uchun mos sistemasini yozamiz

yoki
, (12)
, (13)
. (14)
(12) va (13) dan
yoki
15)
ga ega bo’lamiz. (14) dan ga egamiz. (15) dan esa , bundan
, (16)
ni topamiz. (14) va (16) tenglamalarni birgalikda yechib,
, , (17)
ga ega bo`lamiz. funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz
, , .
, nuqtada
= ,
ga ega bo’lamiz. Demak, , nuqtada shartli ekstremum mavjud. So’ngra, da bo’ladi, shuning uchun nuqtada shartli maximum , ga teng, da = bo’ladi, yani nuqtada shartli minimum ga teng bo’ladi.