Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 1. funksiyaning ekstremum nuqtasi topilsin.
Ychish. Ushbu funksiyaning ekstremum nuqtalarini ga aylantiruvchi nuqtalar ichidan izlaymiz. Bizning holda bo’ladi. shart yagona nuqtalarda bajariladi. Haqiqatdan ham, agar bo’lsa bo’ladi. Aksinchasi, bo’lsin, larni ixtiyoriyligidan foydalanib, ni deb tanlaymiz, u holda bo’ladi va ni ixtiyoriyligidan kelib chiqadi. Huddi shuningdek, ni ham olamiz. nuqtada ga ega bo’lamiz, qolgan nuqtalarda esa bo’ladi. Shuning uchun, nuqta funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo’ladi.
Agar differensiallanmaydigan nuqtalarni qo’shib, ekstremum qidirilayotgan nuqtalar sinfini kengaytirsak, u holda quyidagi ekstremumning zaruriy shartiga kelamiz.
Agar nuqta f(x ,x ,…x ) funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’lsa, u holda uning nuqtadagi har bir hususiy hosilasi , no’lga teng bo’ladi yoki mavjud bo’lmaydi.
Misol 2. , , konusning yuqori pallasini qaraymiz. Ravshanki, 0(0,0) nuqtada minimumga erishadi. Lekin, 0(0,0) nuqtada hosilalar mavjud emas.
Ta’rif 3. funksiya ekstremumining zaruriy sharti bajarilgan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi.
ga aylantiradigan nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi deyiladi. shart , shartga ekvivalentdir.
Teorema 2 (Qat’iy ekstremumning yetarli sharti). Aytaylik funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli uzluksiz hosilaga ega va nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi bo’lsin. Agar kvadratik forma
, (1)
yani kvadratik formada funksiyaning nuqtadagi ikkinchi tartibli differensiali musbat aniqlangan (manfiy aniqlangan) bo’lsa, u holda nuqta qat’iy minimum (mos ravishda nuqta qat’iy maxsimum) bo’ladi. Agar (1) kvadratik forma aniqlanmagan bo’lsa u holda nuqtada ekstremum bo’lmaydi.
Kvadratik forma musbat aniqlanganligining Silvestr kriyeriyasi. Ushbu
(2)
kvadratik formaning , musbat aniqlangan bo’lishligi uchun
>0,
o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
(2) kvadratik forma manfiy aniqlangan bo’lishligi uchun
<0,
o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
bo’lgan holni qaraylik. funksiya nuqtaning biror atrofida aniqlangan va 2-tartibli uzluksiz hususiy hosilaga ega hamda statsionar nuqta bo’lsin, yani
. (3)
Unda, agar da
(4)
bo’lsa, u holda nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo’ladi. Shuningdek, agar bo’lsa maksimum va agar bo’lsa minimum bo’ladi. Agar nuqtada bo’lsa u holda nuqtada extremum yo’q. Vanihoyat, qachonki nuqtada bo’lsa, u holda nuqtada ekstremum bo’lishi ham, bo’lmasligi ham mumkin. Bu oxirgi hol alohida tekshiruvni talab etadi.
Misol 3. , , funksiyalarni qaraymiz. nuqta har bir funksiya uchun statsionar nuqta bo’ladi va bu nuqtada har bir funksiya uchun bo’ladi. nuqtani 1-funksiya uchun minimum, 2-funksiya uchun maxsimum va 3-funksiya uchun ekstremum nuqta bo’lmasligini ko’rish qiyin emas. Har uchchala holda ham z(0,0)=0 bo’ladi, lekin 1-holda nuqtaning funksiya atrofida ( nuqtaning o’zidan tashqari) funksiyaning qiymati musbat, 2-sida manfiy va 3-holda funksiya koordinata boshining ixtiyoriy yaqinida musbat (masalan, da), manfiy (masalan, da) qiymatlarni qabul qiladi.