Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Misol 6. funksiyaning minimum nuqtasi topilsin.
Yechish. nuqtani olamiz ga ega bo’lamiz. Shuning uchun bu yerda So’ngra, bo’ladi. Agar bo’lsa, unda va bo’ladi. Bu jarayonni davom ettirib, quyidagiga ega bo’lamiz. Ma’lumki, agar bo’lsa, unda da U holda nuqta funksiyaning minimum nuqtasi bo’ladi. Agarda bo’lsa, unda bo’lib, limiti no’lga teng bo’lgan statsionar ketma-ketligini hosil qilamiz.
Misol 7. funksiyaning minimum nuqtasi topilsin.
Yechish. Masalan (1,1) nuqtani olaylik, ya’ni . Bundan Bu yerda bo’lganligi uchun, , , ega bo’lamiz.
Quyidagiga egamiz

shuning uchun

deb olamiz. Bu jarayonni davom ettirib, quyidagiga

ega bo’lamiz. bo’lganligi uchun, berilgan funksiyaning minimum nuqtasiga yaqinlashuvchi ketma-ketlikga ega bo’lamiz. Ravshanki, da Demak, (0,0) nuqta funksiyaning minimum nuqtasi bo’ladi.
Gradiyentli tushish usuli yordamida funksiyaning minimum nuqtasi topilsin.


Ko’p o’zgaruvchili funktsiyaning shartsiz ekstremumi


reja:


1.Shartli ekstremum
2.Lagranj funktsiyasi
tayanch tushuncha va iboralar: shartli ekstremum, kuchli va kuchsiz ekstremumlar, Lagranj funktsiyasi.

E fazoning qandaydir D soxasida aniqlangan n o`zgaruvchili funksiya berilgan bo`lsin. larga yana m ta bog`lovchi tenglamalar deb nomlanuvchi

(1)
qo`shimcha shart qo’yilgan bo`lsin (m Aytaylik, x =( ) – D sohaning ichki nuqtasi bo`lsin.
f(x ,x ,…x ) funksiya ( ) nuqtada shartli maximumga (mos ravishda shartli minimumga ) ega deyiladi, agar ( ) nuqtaning biror atrofida va nuqtalar (1) bog`lanish tenglamasini qanoatlantirgan holda f(x ,x ,…x ) f ( ) (mos ravishda f(x ,x ,…x ) f ( )) tengsizlik bajarilsa.
Misol 1. funksiya nuqtada 0 ga teng bo`lgan shartsiz minimumga ega. Bog`lanish tenglamasini qo`shamiz yani sirtning faqat shartni qanoatlantiruvchi qiymatlardagi minimumini qidiramiz. nuqtada shartli minimumga ega bo`lolmaydi, chunki bu bog`lanish tenglamasini qanoatlantirmaydi. Bog`lanish tenglamasini ga nisbatan yechib, sirtning tenglamasiga qo`yamiz va bir o`zgaruvchili funksiyaga ega bo`lamiz. Uni ekstremumga tekshirib, , larni topamiz. Bog`lanish tenglamasiga asosan ni topamiz. Bu nuqta paroboloidning tekislik bilan kesishishidan hosil bo`lgan parabolaning uchi bo’ladi. Shunga o`xshash umumiy xolda ham shunday qilish mumkin.
Aytaylik funksiyaning bog`lanish sharti ostida ekstremumi izlanayotgan bo`lsin. aytaylik tenglama ko`rilayotgan va qiymatlarda ni ni bir qiymatli diffirinsiallanuvchi funksiya sifatida aniqlasin. da y ning o`rniga funksiyani qo`yib, bitta o`zgaruvchili funksiyani hosil qilamiz. funksiyaning shartsiz ekstremumi bog`lanish tenglamasiga ko`ra funksiyaning izlanayotgan shartli ekstremumi hisoblanadi. Bu usul amalda har doim ham qulay hisoblanmaydi, chunki u tenglamaning aniq biror o`zgaruvchiga nisbatan yechimini talab qiladi.
funksiyaning (1) bog’lanishga ko`ra ekstremal qiymatlarini toppish uchun Langranjning aniqmas ko`paytuvchilar usili qo`llaniladi.