Guliston davlat universiteti matematika kafedrasi variatsion hisob va optimallashtirish usullari

Langranj ko`paytuvchilar usili. Faraz qilaylik :
1) va , funksiyalar sohada birinchi tartibli uzluksiz hususiy hosilalarga ega;
2) va , , , matritsaning rangi sohaning har bir nuqtasida m ga teng.
Yangi funksiya (Langranj funksiyasi) tuzamiz
.
bu yerda - noma’lum o’zgarmas ko`paytuvchilar (Langranj ko`paytuvchilari). Endi
funksiya shartsiz ekstremumga tekshiriladi, ya’ni
... , (4)
tenglamalar sistemasi tuziladi, so’ngra (4) dan va m ta …,
bog`lanish tenglamasidan parametrlarning qiymatlari hamda ekstremum bo`lishi mumki bo`lgan nuqtalarning koordinatalari aniqlanadi.
(4) shart Langranj funksiyasining va dastlabki funksiya ekstremumining zaruriy sharti hisoblanadi.
Agar ( ) nuqta funksiya uchun shartli ekstremum nuqtasi bo`lsa u holda u Longranj funksiyasi uchun statsionar nuqta hisoblanadi, ya’ni bu nuqtada , bo’ladi. Longranj funksiyasini shartli ekstremumga statsionar nuqtada tekshirish uchun quyidagi ko’rinishdagi kvadratik formani tuzish kerak bo’ladi
, (5)
ya’ni bu Longranj funksiyasining shu nuqtadagi
+ +…+ , (6)
Shartlarni hisobga olgan holdagi ikkinchi diffirinsiali.
Agar (5) kvadratik forma aniqlangan bo`lsa nuqtada qat’iy shartli ekstremum bo`ladi, aynan: qatiy shartli maximum bo`ladi, agar (5) kvadratik forma manfiy aniqlangan bo`lsa, qatiy shartli minimum bo`ladi, agar (5) musbat aniqlangan bo`lsa.
Agar (5) kvadratik forma aniqlanmagan bo`lsa , u holda nuqta shartli ekstremum nuqtasi bo’lmaydi. Longranj funksiyasi uchun shartsiz ekstremum mavjud emasligini funksiya uchun ham shartli ekstremum mavjud emasligini bildirmaydi.
Misol 2. shart ostida funksiyaning ekstremumi topilsin.
Yechish. Longranj funksiyasini tuzamiz . va ekstremum mumkin bo`lgan nuqtalarning koordinatasini aniqlash uchun mos sistemasini yozamiz
(7)
Birinchi tenglamadan ni topamiz. Ikkinchisiga qo`yib, ni topamiz. Shunday qilib,

ni hosil qilamiz. Bundan va larni olamiz. Shunday qilib, Longranj funksiyasi quyidagi ko`rinishda ega bo`ladi. nuqtada funksiya shartsiz ekstremumga ega emas, lekin shartda funksiya shartli ekstremumga ega. Haqiqatdan, bu holda ega bo`lamiz, bundan ko`rinadiki nuqtada shartli minimum bor.