47. Har qanday chiziqli uzluksiz funksional har doimo differensiyalla-
nuvchi ekanligi ko’rsatilsin.
Misol 15. fazoda aniqlangan
funksionalni har bir nuqtada differensiyalanuvchi ekanligini ko’rsating.
Yechish. Quyidagiga egamiz
(11)
(11) integralning o’ng tomonidagi 1-integral fiksirlangan har bir funksiyada ga nisbatan chiziqli funksianol bo’ladi. (11) integralning o’ng tomonidagi 2-integralni baholaymiz. Bundan da quyidagi ifodaga ega bo’lamiz
Bundan 0 da quyidagi ifoda kelib chiqadi
Shunday qilib, ∆J funksiyaning orttirmasi ning ga nisbatan 2-tartibli kichik miqdorning yig’ndisi ko’rinishida bo’ladi. Ta’rifga ko’ra berilgan funksianol nuqtada differensiyalanuvchi va uning variatsiyasi
ga teng bo’ladi.
Misol 16. kesmada uzluksiz, 1- tartibli uzluksiz hosilaga ega bo’gan funksiyalar fazosida aniqlangan funksionalni qaraymiz. Bu yerda o’zining argumentlari bo’yicha uzluksiz hamda , sohada ikkingchi tartibgacha uzluksiz xosilalarga ega bo’lgan funksiya.
funksionalning ga to’g’ri keluvchi orttirmasini topamiz, bu erda
Bundan
(12)
ni hosil qilamiz. Teylor formulasiga asosan
(13)
ni olamiz. Bu yerda - Teylor formulasining qoldiq hadi deyiladi. (13)- ifodani (12)-formulaga qo`yib, quyidagiga ega bo`lamiz
(14)
(14)- formulaning o`ng tomonidagi 1-qo’shiluvchi va larga nisbatan chiziqli. Aytaylik, funksiyaning va lar bo`yicha barcha 2- tartibli xususiy hosilalari va ning chegaralangan sohasida absolyut qiymat bo`yicha biror o`zgarmas sondan oshib ketmasin. U holda quyidagicha baho o’rinli bo’ladi
Bu yerda . Shunday qilib, (14)- formulaning o`ng qismidagi 2- qo`shiluvchi ifoda ga nisbatan 2- tartibli cheksiz kichik miqdor.
Bundan ta’rifga asosan funksionalning fazoda differensiallanuvchiligi ktlib chiqadi va uning variatsiyasi quyidagiga teng bo’ladi
. (15)
